Ekstrema absolutne funkcji dwóch zmiennych
: 3 cze 2007, o 15:10
Hej,
Mam problem z jednym zadaniem - bardzo proste, ale jezeli dobrze nie zrozumiem jak rozwiazac cos latwiejszego, to nie ma sensu przechodzenia do rzeczy trudniejszych.
Znajdz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ z=2 x^{2} - 2 y^{2}}\) w kole \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} qslant 4}\)
Obliczam wiec pochodne czastkowe
pochodna po x wynosi: 4x
pochodna po y wynosi: -4y
licze w ktorych punktach sie zeruja - widac ze tylko w jednym: (0,0)
Nie jest powiedziane ze w tym punkcie jest ekstremum, ale po co to liczyc, skoro to i tak moze nie byc najwieksza / najmniejsza wartosc funkcji - obliczam wiec jedynie wartosc w tym punkcie i dostaje z(0,0)=0.
Teraz licze najwieksza i najmniejsza wartosc na brzegu.
Dziele okrąg na dwie czesci (gorna i dolna), tak aby to "byly funkcie" - tak mi cwiczeniowiec tlumaczyl.
Dostaje wiec:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4 - x^{2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y= - \sqrt{4-x^{2}}}\)
podstawiam pod y w rownaniu funkcji i dla pierwszego (jak i drugiego przypadku - mam we wzorze funkcji y podniesiony do kwadratu, wiec minus przed pierwiastkiem odpadnie)
\(\displaystyle{ f(x)=2 x^{2} - 2(4 - x^{2})}\)
licze pochodna, wychodzi 8x
zeruje sie dla x=0, wartosc w tym punkcie wynosi -8
jak dla mnie koniec zadania. Najmniejsza wartosc funkcji wynosi -8 a najwieksza 0 (w tym kole oczywiscie)
Ale podobno nie, bo o ile najmniejsza sie zgadza to najwieksza wynosi 8...
W ktorym momencie popelnilem blad? Wyrazenie pod pierwiastkiem przeciez musi byc wieksze od zera, wiec po podniesieniu pierwiastka do kwadratu nie musze tego "wsadzac" w wartosc bezwzgledna... Ten minus w drugim przypadku tez dzieki podniesieniu do kwadratu "ucieknie"...
wiec skad to 8 ?
Z gory dzieki
Mam problem z jednym zadaniem - bardzo proste, ale jezeli dobrze nie zrozumiem jak rozwiazac cos latwiejszego, to nie ma sensu przechodzenia do rzeczy trudniejszych.
Znajdz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ z=2 x^{2} - 2 y^{2}}\) w kole \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} qslant 4}\)
Obliczam wiec pochodne czastkowe
pochodna po x wynosi: 4x
pochodna po y wynosi: -4y
licze w ktorych punktach sie zeruja - widac ze tylko w jednym: (0,0)
Nie jest powiedziane ze w tym punkcie jest ekstremum, ale po co to liczyc, skoro to i tak moze nie byc najwieksza / najmniejsza wartosc funkcji - obliczam wiec jedynie wartosc w tym punkcie i dostaje z(0,0)=0.
Teraz licze najwieksza i najmniejsza wartosc na brzegu.
Dziele okrąg na dwie czesci (gorna i dolna), tak aby to "byly funkcie" - tak mi cwiczeniowiec tlumaczyl.
Dostaje wiec:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4 - x^{2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y= - \sqrt{4-x^{2}}}\)
podstawiam pod y w rownaniu funkcji i dla pierwszego (jak i drugiego przypadku - mam we wzorze funkcji y podniesiony do kwadratu, wiec minus przed pierwiastkiem odpadnie)
\(\displaystyle{ f(x)=2 x^{2} - 2(4 - x^{2})}\)
licze pochodna, wychodzi 8x
zeruje sie dla x=0, wartosc w tym punkcie wynosi -8
jak dla mnie koniec zadania. Najmniejsza wartosc funkcji wynosi -8 a najwieksza 0 (w tym kole oczywiscie)
Ale podobno nie, bo o ile najmniejsza sie zgadza to najwieksza wynosi 8...
W ktorym momencie popelnilem blad? Wyrazenie pod pierwiastkiem przeciez musi byc wieksze od zera, wiec po podniesieniu pierwiastka do kwadratu nie musze tego "wsadzac" w wartosc bezwzgledna... Ten minus w drugim przypadku tez dzieki podniesieniu do kwadratu "ucieknie"...
wiec skad to 8 ?
Z gory dzieki