Ekstrema absolutne funkcji dwóch zmiennych

[venomek]

Hej,

Mam problem z jednym zadaniem - bardzo proste, ale jezeli dobrze nie zrozumiem jak rozwiazac cos latwiejszego, to nie ma sensu przechodzenia do rzeczy trudniejszych.

Znajdz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ z=2 x^{2} - 2 y^{2}}\) w kole \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} qslant 4}\)

Obliczam wiec pochodne czastkowe
pochodna po x wynosi: 4x
pochodna po y wynosi: -4y

licze w ktorych punktach sie zeruja - widac ze tylko w jednym: (0,0)
Nie jest powiedziane ze w tym punkcie jest ekstremum, ale po co to liczyc, skoro to i tak moze nie byc najwieksza / najmniejsza wartosc funkcji - obliczam wiec jedynie wartosc w tym punkcie i dostaje z(0,0)=0.

Teraz licze najwieksza i najmniejsza wartosc na brzegu.
Dziele okrąg na dwie czesci (gorna i dolna), tak aby to "byly funkcie" - tak mi cwiczeniowiec tlumaczyl.

Dostaje wiec:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4 - x^{2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ y= - \sqrt{4-x^{2}}}\)

podstawiam pod y w rownaniu funkcji i dla pierwszego (jak i drugiego przypadku - mam we wzorze funkcji y podniesiony do kwadratu, wiec minus przed pierwiastkiem odpadnie)

\(\displaystyle{ f(x)=2 x^{2} - 2(4 - x^{2})}\)
licze pochodna, wychodzi 8x
zeruje sie dla x=0, wartosc w tym punkcie wynosi -8

jak dla mnie koniec zadania. Najmniejsza wartosc funkcji wynosi -8 a najwieksza 0 (w tym kole oczywiscie)
Ale podobno nie, bo o ile najmniejsza sie zgadza to najwieksza wynosi 8...

W ktorym momencie popelnilem blad? Wyrazenie pod pierwiastkiem przeciez musi byc wieksze od zera, wiec po podniesieniu pierwiastka do kwadratu nie musze tego "wsadzac" w wartosc bezwzgledna... Ten minus w drugim przypadku tez dzieki podniesieniu do kwadratu "ucieknie"...
wiec skad to 8 ?

Z gory dzieki

[mustela]

Nie widzę jeszcze gdzie jest błąd, ale zwróć uwagę, że w punkcie (2;0) należącym do koła wartość funkcji wynosi wszak 8. Ponadto, jak zamiast podstawić do funkcji y w zależności od x dla brzegu koła dasz x w zależności od y to wartością funkcji w stanie stacjonarnym (pochodna dz/dy równa 0) będzie właśnie to 8.

[edit]Aha chyba już widzę. Otóż jak już masz tę funkcję f(x) to znalazłeś tylko stan stacjonarny, a zapomniałeś sprawdzić warunki brzegowe (x=-2, x=2) w których może nie być stanu stacjonarnego ale może być (i jest) ekstremum w danym zakresie.

[max]

venomek - nie sprawdziłeś końców przedziału \(\displaystyle{ [-2, 2]}\), w którym określona jest twoja funkcja \(\displaystyle{ f}\).