Matematyka.pl

Jak jest z nazewnictwem?
Jak nazywają się wielomiany, których współczynniki mogą być albo 1 albo 0? Pierścień wielomianów binarnych? Bo jest na przykład ciało skończone \(\displaystyle{ GF(2^n)}\) w którym to wynik mnożenia brany jest modulo nierozkładalny wielomian stopnia n.
--
temat raczej do Algebry abstrakcyjnej
Chodzi o wielomian nad ciałem \(\displaystyle{ Z_2}\)

Czy chodzi Ci o wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, ale tylko \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)(\(\displaystyle{ x+x \neq 0}\)), czy rzeczywiście o wielomiany nad \(\displaystyle{ Z_2}\)(czyli np. \(\displaystyle{ x+x=0}\))

Zamiast głowić się nad nazwami, dla danego pierścienia współczynników \(\displaystyle{ R}\) oznacza się przez \(\displaystyle{ R[x]}\) pierścień wielomianów o współczynnikach w tym pierścieniu.

SchmudeJanusz pisze:Czy chodzi Ci o wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, ale tylko \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)(\(\displaystyle{ x+x \neq 0}\)), czy rzeczywiście o wielomiany nad \(\displaystyle{ Z_2}\)(czyli np. \(\displaystyle{ x+x=0}\))

Nad \(\displaystyle{ Z_2}\), do dodawania i odejmowania użyte XOR

Borneq pisze:

SchmudeJanusz pisze:Czy chodzi Ci o wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, ale tylko \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)(\(\displaystyle{ x+x \neq 0}\)), czy rzeczywiście o wielomiany nad \(\displaystyle{ Z_2}\)(czyli np. \(\displaystyle{ x+x=0}\))

Nad \(\displaystyle{ Z_2}\), do dodawania i odejmowania użyte XOR

W takim razie oznaczenie to \(\displaystyle{ Z_2[x]}\).
Jest to pierścień wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ x}\) nad \(\displaystyle{ Z_2}\)

Czy oznacza to że zmienna x również przyjmuje tylko wartości 0, 1?

Brak informacji o dziedzinie wielomianów jest dla mnie mylący.

Zmienna nie przyjmuje żadnych wartości, bo wielomian nie jest funkcją, tylko wyrażeniem formalnym, czyli po prostu napisem. Z tego też powodu nie ma sensu mówić o dziedzinie wielomianu.

Natomiast z każdym wielomianem w naturalny sposób powiązana jest funkcja wielomianowa, która już jest funkcją i ma dziedzinę - jest nią pierścień, nad którym ów wielomian jest zdefiniowany (lub w razie potrzeby: dowolny nadpierścień).