[MIX] Zadania różne VI
: 23 paź 2014, o 19:50
1. rozwiązane przez kicaja
Lemat o grupie; Niech \(\displaystyle{ (G,*)}\) będzie grupą
zaś zbiór \(\displaystyle{ K \subset G}\) jest taki, że \(\displaystyle{ 2|K| > |G|}\)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ g \in G}\) to istnieją \(\displaystyle{ k, h \in K}\) takie że \(\displaystyle{ g= hk}\) zakładając że \(\displaystyle{ |X|< +\infty}\)
2. rozwiązane przez Ponewora
Ile to jest \(\displaystyle{ \frac{6}{(3^2-2^2)(3-2)}+ \frac{6^2}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+ \frac{6^3}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+...}\)
?
3. Lemat o grupie jednorodnej; Udowodnić iż w ośmioosobowej grupie osób istnieją rozłączne grupy jednorodne trzyosobowe
Grupa jednorodna to taka, w której każdy zna każdego lub nikt nie zna nikogo
(tez twierdzenia Turána)
4. rozwiązane przez Qnia
Ile jest podzbiorów \(\displaystyle{ B \subset X}\) zbioru \(\displaystyle{ X = \{1, ..., 30\}}\) o sumie wszystkich swoich elementów większej niż \(\displaystyle{ 232}\) ?
5. rozwiązane przez Premislava
Wskazać przykład piątki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b, c, d, e)}\) takich. że \(\displaystyle{ a+b+c+d+e = \sqrt{abcde}}\)
6. rozwiązane przez bosa_Nike
Min-max; Wyznaczyć najmniejsza i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= y-2x}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x , y > 0 \\ x \neq y \\ \frac{x^2+y^2}{x+y} \leq 4 \end{cases}}\)
7. rozwiązane przez Ponewora
Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+4x_2+ 9x_3 +16x_4+ 25x_5+36x_6+ 49x_7 =1\\ 4x_1+ 9x_2+ 16x_3 + 25x_4 + 36x_5 +49x_6 + 64x_7= 12\\9x_1 + 16x_2 +25x_3+ 36x_4 + 49x_5 + 64 x_6 + 81x_7=123\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ 16x_1+ 25x_2 + 36x_3 + 49x_4 + 64x_5 + 81x_6 + 100x_7}\)
8. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą; Wykazać że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q<p}\) że \(\displaystyle{ q^{p-1} - 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p^2}\)
Kömal
9. Na koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) całkowicie nałożono siedem jednakowych kół o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Wykazać, że jest to możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ r \geq \frac{1}{2}}\)
Musztari
10. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ p_1 , p_2, p_3, ....}\) będzie ciągiem wszystkich liczb pierwszych. Czy \(\displaystyle{ p_1....p_n + 1}\) może być kwadratem liczby całkowitej ? A \(\displaystyle{ p_1....p_n - 1}\) ?
11. rozwiązane przez Ponewora
Ciąg określony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ a_1 = 1 \ a_2=2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) jest najmniejszą z liczb spoza zbioru \(\displaystyle{ \{ a_1, ..., a_n \}}\) nie względnie pierwszą z \(\displaystyle{ a_n}\). Jest to więc ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 4 , 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15...}\) . Udowodnić ze wszystkie liczby naturalne są wyrazami tego ciągu
12. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) równanie:
\(\displaystyle{ 5xy - 1 = (x+y)^2}\)
13. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać układ w \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)+2=y^2+z^2\\ y(x+z)+2=x^2+z^2\\ z(x+y)+2=x^2+y^2 \end{cases}}\)
14. rozwiązane przez Ponewora
Wykaż lub obal: Dla dowolnego układu \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie istnieje koło takie ze \(\displaystyle{ n-1}\) z tych punktów będzie wewnątrz koła a tylko jeden punkt poza kołem.
15. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (x+1995)(x+1997)(x+1999)(x+2001)+16 = 0}\)
16. Na ile różnych sposobów można pokolorować trzema kolorami \(\displaystyle{ n}\) punktów na okręgu tak by każde sąsiednie były różnokolorowe ?
17. rozwiązane przez bosa_Nike
Niech \(\displaystyle{ n>1}\). Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \max \{ 1, x_1 \} = x_2}\)
\(\displaystyle{ \max \{ 2, x_2 \} = 2x_3}\)
…………………………………..
\(\displaystyle{ \max \{ n, x_n \} = nx_1}\)
18. Czy na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin (x)}\) są trzy takie punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) iż trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątnym ?
19. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Udowodnić, ze \(\displaystyle{ \tg (\frac{\pi}{24})= \sqrt{6}+ \sqrt{2} - \sqrt{3}-2}\)
20. Gra: Trzej gracze grają w “orła i reszkę”. Każdy wpłaca do puli po 2 zł. Pierwszy z nich zawsze obstawia orła, drugi reszkę. Pula 6 zł jest dzielona równo miedzy osoby, które trafnie wytypowały wynik. Czy trzeci gracz będzie stratny w tej grze czy też nie ?
21. rozwiązane przez Qnia i yorgina
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f(f(n))=n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
22. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taka że:
\(\displaystyle{ f(x)+f(y)= f(x+y)- xy -1}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)= 1}\).
Czy zbiór \(\displaystyle{ A = \{ n \in N : f(n)= n \}}\) może być nieskończony ?
23. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje taki niepusty skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) punktów płaszczyzny, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ S}\) istnieje dokładnie \(\displaystyle{ m}\) punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\), z których każdy jest odległy od \(\displaystyle{ A}\) o 1
24. rozwiązane przez Premislava
Czy wśród liczb \(\displaystyle{ a_1, ..., a_{500}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_j = 1331j+1}\) jest jakaś podzielna przez \(\displaystyle{ 1001}\) ?
25. rozwiązane przez Dasio11
Znaleźć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) o następującej własności:
Istnieje \(\displaystyle{ k}\) tak ich różnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, że każde dwa mają niepustą część wspólną.
26. Wykazać że iloczyn wszystkich \(\displaystyle{ 2^{100}}\) liczb \(\displaystyle{ \pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm ... \pm \sqrt{99} \pm \sqrt{100}}\)
jest kwadratem liczby całkowitej
27. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Wykazać cechę podzielności przez 7: \(\displaystyle{ 10a+b}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) wtedy; i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a -2b}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) (np. \(\displaystyle{ 2331}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) gdyż \(\displaystyle{ 233 - 2 \cdot 1= 7 \cdot 33}\))
28. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieje 5-cio wyrazowy podciąg ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ....}\) który jest postępem arytmetycznym ? Jaki jest możliwie najdłuższy taki podciąg ?
29. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić że nie istnieją funkcje okresowe \(\displaystyle{ f, g}\) że \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\).
30. rozwiązane przez fon_nojmana
Niech \(\displaystyle{ P_n(z)=1^3z + 2^3z^2+ ....+ n^3z^n}\). Czy istnieje \(\displaystyle{ z \in C}\) iż \(\displaystyle{ P(z)=0}\) i \(\displaystyle{ 0< |z|< 1}\) ?
31. rozwiązane przez Ponewora
Czy każda liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2n}\) można przedstawić jako różnicę dwóch liczb względnie pierwszych ?
32. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27}\\3\log _5 (x+y)=y -x \end{cases}}\)
33. rozwiązane przez Ponewora (fałszywe)
Zadanie J. Hajdemajcha; Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (x_n, y_n, z_n)}\) jest trójką pitagorejska oraz \(\displaystyle{ z_n - x_n=1}\) to \(\displaystyle{ (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})}\) także nią jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{n+1}= (2x_n+1)(2(x_n+z_n)+1)\\y_{n+1}=x_{n+1}+1\\z_{n+1}=2z_n^2+ x_{n+1}\end{cases}}\)
Lemat o grupie; Niech \(\displaystyle{ (G,*)}\) będzie grupą
zaś zbiór \(\displaystyle{ K \subset G}\) jest taki, że \(\displaystyle{ 2|K| > |G|}\)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ g \in G}\) to istnieją \(\displaystyle{ k, h \in K}\) takie że \(\displaystyle{ g= hk}\) zakładając że \(\displaystyle{ |X|< +\infty}\)
2. rozwiązane przez Ponewora
Ile to jest \(\displaystyle{ \frac{6}{(3^2-2^2)(3-2)}+ \frac{6^2}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+ \frac{6^3}{(3^3-2^3)(3^2-2^2)}+...}\)
?
3. Lemat o grupie jednorodnej; Udowodnić iż w ośmioosobowej grupie osób istnieją rozłączne grupy jednorodne trzyosobowe
Grupa jednorodna to taka, w której każdy zna każdego lub nikt nie zna nikogo
(tez twierdzenia Turána)
4. rozwiązane przez Qnia
Ile jest podzbiorów \(\displaystyle{ B \subset X}\) zbioru \(\displaystyle{ X = \{1, ..., 30\}}\) o sumie wszystkich swoich elementów większej niż \(\displaystyle{ 232}\) ?
5. rozwiązane przez Premislava
Wskazać przykład piątki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b, c, d, e)}\) takich. że \(\displaystyle{ a+b+c+d+e = \sqrt{abcde}}\)
6. rozwiązane przez bosa_Nike
Min-max; Wyznaczyć najmniejsza i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= y-2x}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x , y > 0 \\ x \neq y \\ \frac{x^2+y^2}{x+y} \leq 4 \end{cases}}\)
7. rozwiązane przez Ponewora
Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+4x_2+ 9x_3 +16x_4+ 25x_5+36x_6+ 49x_7 =1\\ 4x_1+ 9x_2+ 16x_3 + 25x_4 + 36x_5 +49x_6 + 64x_7= 12\\9x_1 + 16x_2 +25x_3+ 36x_4 + 49x_5 + 64 x_6 + 81x_7=123\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ 16x_1+ 25x_2 + 36x_3 + 49x_4 + 64x_5 + 81x_6 + 100x_7}\)
8. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą; Wykazać że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q<p}\) że \(\displaystyle{ q^{p-1} - 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p^2}\)
Kömal
9. Na koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) całkowicie nałożono siedem jednakowych kół o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Wykazać, że jest to możliwe tylko gdy \(\displaystyle{ r \geq \frac{1}{2}}\)
Musztari
10. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ p_1 , p_2, p_3, ....}\) będzie ciągiem wszystkich liczb pierwszych. Czy \(\displaystyle{ p_1....p_n + 1}\) może być kwadratem liczby całkowitej ? A \(\displaystyle{ p_1....p_n - 1}\) ?
11. rozwiązane przez Ponewora
Ciąg określony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ a_1 = 1 \ a_2=2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) jest najmniejszą z liczb spoza zbioru \(\displaystyle{ \{ a_1, ..., a_n \}}\) nie względnie pierwszą z \(\displaystyle{ a_n}\). Jest to więc ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 4 , 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15...}\) . Udowodnić ze wszystkie liczby naturalne są wyrazami tego ciągu
12. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) równanie:
\(\displaystyle{ 5xy - 1 = (x+y)^2}\)
13. rozwiązane przez bosa_Nike
Rozwiązać układ w \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)+2=y^2+z^2\\ y(x+z)+2=x^2+z^2\\ z(x+y)+2=x^2+y^2 \end{cases}}\)
14. rozwiązane przez Ponewora
Wykaż lub obal: Dla dowolnego układu \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie istnieje koło takie ze \(\displaystyle{ n-1}\) z tych punktów będzie wewnątrz koła a tylko jeden punkt poza kołem.
15. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ (x+1995)(x+1997)(x+1999)(x+2001)+16 = 0}\)
16. Na ile różnych sposobów można pokolorować trzema kolorami \(\displaystyle{ n}\) punktów na okręgu tak by każde sąsiednie były różnokolorowe ?
17. rozwiązane przez bosa_Nike
Niech \(\displaystyle{ n>1}\). Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \max \{ 1, x_1 \} = x_2}\)
\(\displaystyle{ \max \{ 2, x_2 \} = 2x_3}\)
…………………………………..
\(\displaystyle{ \max \{ n, x_n \} = nx_1}\)
18. Czy na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin (x)}\) są trzy takie punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) iż trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątnym ?
19. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Udowodnić, ze \(\displaystyle{ \tg (\frac{\pi}{24})= \sqrt{6}+ \sqrt{2} - \sqrt{3}-2}\)
20. Gra: Trzej gracze grają w “orła i reszkę”. Każdy wpłaca do puli po 2 zł. Pierwszy z nich zawsze obstawia orła, drugi reszkę. Pula 6 zł jest dzielona równo miedzy osoby, które trafnie wytypowały wynik. Czy trzeci gracz będzie stratny w tej grze czy też nie ?
21. rozwiązane przez Qnia i yorgina
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f(f(n))=n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)
22. rozwiązane przez kicaja
Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taka że:
\(\displaystyle{ f(x)+f(y)= f(x+y)- xy -1}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)= 1}\).
Czy zbiór \(\displaystyle{ A = \{ n \in N : f(n)= n \}}\) może być nieskończony ?
23. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje taki niepusty skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) punktów płaszczyzny, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ S}\) istnieje dokładnie \(\displaystyle{ m}\) punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\), z których każdy jest odległy od \(\displaystyle{ A}\) o 1
24. rozwiązane przez Premislava
Czy wśród liczb \(\displaystyle{ a_1, ..., a_{500}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_j = 1331j+1}\) jest jakaś podzielna przez \(\displaystyle{ 1001}\) ?
25. rozwiązane przez Dasio11
Znaleźć największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) o następującej własności:
Istnieje \(\displaystyle{ k}\) tak ich różnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego, że każde dwa mają niepustą część wspólną.
26. Wykazać że iloczyn wszystkich \(\displaystyle{ 2^{100}}\) liczb \(\displaystyle{ \pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm ... \pm \sqrt{99} \pm \sqrt{100}}\)
jest kwadratem liczby całkowitej
27. rozwiązane przez Premislava i Qnia
Wykazać cechę podzielności przez 7: \(\displaystyle{ 10a+b}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) wtedy; i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a -2b}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) (np. \(\displaystyle{ 2331}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\) gdyż \(\displaystyle{ 233 - 2 \cdot 1= 7 \cdot 33}\))
28. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieje 5-cio wyrazowy podciąg ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ....}\) który jest postępem arytmetycznym ? Jaki jest możliwie najdłuższy taki podciąg ?
29. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić że nie istnieją funkcje okresowe \(\displaystyle{ f, g}\) że \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\).
30. rozwiązane przez fon_nojmana
Niech \(\displaystyle{ P_n(z)=1^3z + 2^3z^2+ ....+ n^3z^n}\). Czy istnieje \(\displaystyle{ z \in C}\) iż \(\displaystyle{ P(z)=0}\) i \(\displaystyle{ 0< |z|< 1}\) ?
31. rozwiązane przez Ponewora
Czy każda liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2n}\) można przedstawić jako różnicę dwóch liczb względnie pierwszych ?
32. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27}\\3\log _5 (x+y)=y -x \end{cases}}\)
33. rozwiązane przez Ponewora (fałszywe)
Zadanie J. Hajdemajcha; Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (x_n, y_n, z_n)}\) jest trójką pitagorejska oraz \(\displaystyle{ z_n - x_n=1}\) to \(\displaystyle{ (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})}\) także nią jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{n+1}= (2x_n+1)(2(x_n+z_n)+1)\\y_{n+1}=x_{n+1}+1\\z_{n+1}=2z_n^2+ x_{n+1}\end{cases}}\)