Matematyka.pl

Oblicz wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ x ^{2} - \frac{1}{x ^{2} }}\),
wiedząc że: \(\displaystyle{ x ^{3} - \frac{1}{x ^{3} } = 18}\)
Zadanie ze zbioru zadań dla maturzystów, poziom rozszerzony.

Pokombinuj z \(\displaystyle{ \left( x- \frac{1}{x} \right) ^{3}}\)

próbowałam, nic nie wychodzi, a równania pomocnicze z parametrem takie, że nie rozwiązywalne dla maturzysty, zaczęłam się zastanawiać czy nie ma błędu w zadaniu

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2} = \left( x- \frac 1x\right)^2+2\\
x^3- \frac{1}{x^3}=\left( x- \frac 1x\right)^3 - 3 \left( x- \frac 1x\right)}\)
Jeśli więc oznaczymy \(\displaystyle{ t= x- \frac 1x}\) to zadanie sprowadza się do wyznaczenia wartości \(\displaystyle{ t^2+2}\) jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ t^3-3t=18}\).

Q.

niestety ale się pomyliłeś już w pierwszym równaniu bo nie zgadza się znak przy \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }}\) w zadaniu jest minus a ze wzoru wychodzi +,
tak czy siak rozwiązanie ostatniego równania \(\displaystyle{ t^3-3t=18}\)też nie jest proste bo tw. Bezouta zawodzi, pierwiastek wychodzi między 2 a 3 i jak go znaleźć ?

Istotnie masz rację, ale w takim razie podejrzewam, że w treści zadania powinno być \(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}}\) - wtedy wyjdzie elegancko.

W obecnej wersji po rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ t^3-3t=18}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ t=3}\), skąd \(\displaystyle{ x-\frac 1x=3}\), a stąd wyjdą dwa rozwiązania i na ich podstawie łatwo wyznaczyć dwie możliwe wartości \(\displaystyle{ x^2-\frac{1}{x^2}}\).

Q.

Najprościej wyliczyć z warunku \(\displaystyle{ x^3=9+\sqrt{82}}\) i już.

Inna sprawa, że chyba rzeczywiście w zadaniu powinno być \(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}}\). choc kto wie...