Matematyka.pl

Witam

Mam takie oto zadanie

Znajdź wszystkie funkcje rzeczywiste określone na podzbiorach \(\displaystyle{ \RR}\), które są jednocześnie parzyste i różnowartościowe.

Żeby funkcja była różnowartościowa nie mogę używać parzystych potęg i funkcji trygonometrycznych, ale żeby była parzysta muszę użyć jednej z tych "opcji". Nawet jeśli znajdę jakieś takie funkcje dzięki ograniczeniu dziedziny do liczb dodatnich to wariacji ich wzorów jest nieskończenie wiele, więc jak je przedstawić?

Będę wdzięczny za wszelkie sugestie.

Pozdrawiam

Spójrz na definicję funkcji parzystej i na definicję funkcji różnowartościowej. Jaki wyciągasz z nich wniosek

W ilu miejscach pozioma linia może przecinać wykres funkcji różnowartościowej, a w ilu funkcji parzystej?

Funkcja różnowartościowa to funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz. Czyli, mówiąc prościej, każdy możliwy igrek pojawia się co najwyżej raz. Łatwo zauważyć, że funkcja różnowartościowa może być albo rosnąca, albo malejąca w całej swojej dziedzinie, a więc nie może mieć ekstremów.
Jeśli ta funkcja ma być do tego parzysta, to znaczy, że jest symetryczna wzgl. osi \(\displaystyle{ OY}\). Wyobraź sobie najpierw możliwe wykresy szukanych funkcji, a potem opisz je wzorami...

MathMaster pisze:Będę wdzięczny za wszelkie sugestie.

Zastanów się, na jakim podzbiorze \(\displaystyle{ \RR}\) może być określona taka funkcja.

JK

@Dilectus

Łatwo zauważyć, że funkcja różnowartościowa może być albo rosnąca, albo malejąca w całej swojej dziedzinie, a więc nie może mieć ekstremów.

to akurat jest prawda tylko przy założeniu ciągłości

MathMaster pisze: Żeby funkcja była różnowartościowa nie mogę używać parzystych potęg i funkcji trygonometrycznych, ale żeby była parzysta muszę użyć jednej z tych "opcji".

Pozdrawiam

Nie musisz kto tak powiedział? Weź sobie kartke i rysuj funkcje parzyste, czy każda z nich to któraś z tych wymienionych?

MathMaster pisze: Nawet jeśli znajdę jakieś takie funkcje dzięki ograniczeniu dziedziny do liczb dodatnich to wariacji ich wzorów jest nieskończenie wiele, więc jak je przedstawić?

jak funkcja może być parzysta, jeżeli za dziedzinę przyjmujesz tylko liczby dodatnie?

Zastanawiałem się nad tym i stwierdziłem, że nie istnieją takie funkcje. Wypisałem sobie definicje funkcji parzystej i różnowartościowej, żeby stwierdzić z pewnością, że te definicje są sobie przeciwne i nie istnieje funkcja spełniająca jednocześnie oba.
Funkcja parzysta to taka, że \(\displaystyle{ \forall x \in X: f(-x)=f(x)}\).
Funkcja różnowartościowa to taka, że \(\displaystyle{ \neg \exists x_{1},x_{2} \in X: f(x_{1})=f(x_{2})}\).
No i tak podczas upewniania się, że taka funkcja nie istnieje, zdałem sobie sprawę, że jednak istnieje i jest nieskończoność takich funkcji(!), ale są one wszystkie do siebie bardzo podobne i są zdecydowanie specyficzne. I są one zupełnie nieskomplikowane. Może taka podpowiedź ci pomoże :p

Spostrzeżenie jak najbardziej słuszne, ale

musialmi pisze:Funkcja parzysta to taka, że \(\displaystyle{ \forall x \in X: f(-x)=f(x)}\).

to nie jest pełna definicja funkcji parzystej, brakuje informacji, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), a to

musialmi pisze:Funkcja różnowartościowa to taka, że \(\displaystyle{ \neg \exists x_{1},x_{2} \in X: f(x_{1})=f(x_{2})}\).

nie jest poprawna definicja funkcji różnowartościowej, brakuje informacji, że \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\).

JK

Jan Kraszewski pisze:

musialmi pisze:Funkcja parzysta to taka, że \(\displaystyle{ \forall x \in X: f(-x)=f(x)}\).

to nie jest pełna definicja funkcji parzystej, brakuje informacji, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\)

Nawet nie wiem co to znaczy
A, już chyba się domyślam. Czyżby to, że jeśli \(\displaystyle{ x_{1}}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), to również \(\displaystyle{ -x_{1}}\) należy do \(\displaystyle{ X}\)?

Nie miałeś symetrii w szkole?

JK

Pewnie chodzi o precyzję. Prostej\(\displaystyle{ x=0}\)

Ależ nie, nie chodziło mi o prostą, tylko o (punkt) \(\displaystyle{ 0}\).

JK