Matematyka.pl

Pokazujemy, że dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{3x-1}{1-x^2} \ge \frac{27}{8}x- \frac{9}{8}}\) i sumujemy te nierówności dla \(\displaystyle{ x=a,b,c}\).

Zaznaczasz punkt \(\displaystyle{ (1/3,0)}\) (dla \(\displaystyle{ a=b=c=1/3}\) zachodzi równość) i patrzysz, jakie równanie ma styczna do wykresu wejściowej funkcji przechodząca przez ten punkt. Na wstępie masz jeszcze głęboką nadzieję, że cały wykres na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) leży nad tą prostą styczną. Gdy ten punkt leży na wykresie funkcji (jak u nas), to wymyślenie równania stycznej jest czynnością mechaniczną.

A bardziej systematycznie - często (aby otrzymać efektywne ograniczenie dolne) szacuje się takie funkcje prawie-wypukłe na danym przedziale przez funkcję liniową z dołu. Pomyśl, jak efektywnie wymyślić te współczynniki nie odnosząc się bezpośrednio do pojęcia stycznej (to nie zawsze wyjdzie, ale możesz ograniczyć się do jedynego wyboru, który ewentualnie działa).

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x-1}{1-x^2}}\). Będziemy szukać oszacowania \(\displaystyle{ f(x)}\) przez funkcję liniową, żeby wykorzystać założenie o sumie równej \(\displaystyle{ 1}\). Wiemy, że równość w naszej nierówności zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c= \frac{1}{3}}\) i mamy nadzieję, że równość zachodzi tylko wtedy. Gdyby tak było, to ta prosta (funkcja liniowa), przez którą chemy oszacować \(\displaystyle{ f(x)}\) musi być styczna do \(\displaystyle{ f(x)}\) właśnie w punkcie o współrzędnej \(\displaystyle{ x=1/3}\). Jeszcze nie wiemy, czy to będzie działać i czy uda się znaleźć dobre oszacowanie, ale próbujemy. Wzór na styczną do wykresu funkcji dostajemy wyznaczając \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ (x-x_0)f'(x_0)=y-f(x_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem styczności (jest to znany wzór). W naszym przypadku \(\displaystyle{ x_0= \frac{1}{3}}\). Przeliczamy sobie i wychodzi nam \(\displaystyle{ y= \frac{27}{8}x- \frac{9}{8}}\). No to teraz pozostaje sprawdzić, czy faktycznie jest to dobre oszacowanie, czyli próbujemy rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{3x-1}{1-x^2} \ge \frac{27}{8}x- \frac{9}{8}}\) oczywiście przy naszym założeniu, że \(\displaystyle{ 0<x<1}\) (bo to wiemy o liczbach \(\displaystyle{ a,b,c}\)). No i w naszym przypadku okazuje się, że ta nierówność jest prawdziwa i możemy spisć rozwiązanie pomijając cały proces znajdowania oszacowania po prostu wskazując i udowadniając je.