[MIX] Zadania różne IV
: 5 sie 2014, o 20:27
1. Na spotkaniu matematyków okazało się, że każdy matematyk ma co najmniej jednego znajomego, ale żadni matematycy, którzy mają równą ilość znajomych, nie mają wspólnego
znajomego. Udowodnić, że wśród nich jest matematyk który ma tylko jednego znajomego.
2. Liczby \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k}\) są różnymi elementami zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ k \geq 2}\), takimi że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ a_i(a_{i+1}-1)}\) dla \(\displaystyle{ i =1, ..., k-1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_k(a_1-1)}\)
3. Zbiór \(\displaystyle{ A \subset [0, 1]}\) jest złożony z rozłącznych odcinków. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \neq \frac{1}{10}}\). Wykazać, ze suma długości wszystkich odcinków ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
4. Wykazać, że w wypukłym \(\displaystyle{ n}\) kącie można znaleźć \(\displaystyle{ n-2}\) takich punktów, że \(\displaystyle{ B_2, ...., B_{n-1}}\) iż każdy trójkąt \(\displaystyle{ A_iA_jA_k}\) zawiera dokładnie jeden z tych punktów.
Dlaczego założenie o wypukłości jest istotne ?
5. Wewnątrz kwadratu jest zbiór odcinków o końcach na obwodzie kwadratu. Suma długości tych odcinków jest równa \(\displaystyle{ 3}\). Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ 8r <1}\) to w kwadracie tym istnieje koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\) rozłączne z każdym z tych odcinków (tj. nie przecinające żadnego z nich).
6. Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie liczba pierwsza, a \(\displaystyle{ n}\) liczba naturalna. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ pn^2}\) ma co najwyżej jeden dzielnik \(\displaystyle{ d}\) taki że \(\displaystyle{ n^2+ d}\) jest kwadratem liczby całkowitej
7. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalną, to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ n=\frac{ab+1}{a+b}}\)
8. rozwiązane przez Hydra147
Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest ustaloną liczbą całkowitą to niech
\(\displaystyle{ f_k(x, y)= x^2+kxy+y^2}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in Z}\)
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ k}\), takie, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f_k}\) jest zbiór \(\displaystyle{ Z}\).
9. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ r, s}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2 - (a+d)x + ad-bc=0}\) to
\(\displaystyle{ r^3}\) i \(\displaystyle{ s^3}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ x^2 - (a^3+ d^3+ 3abc+ 3bcd )x + (ad - bc)^3=0}\)
10. Dowieść, że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są takie, że \(\displaystyle{ x^p - y^q = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ p > q >3}\) to \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\)
m
11. rozwiązane przez timona92
Wykazać, że nie istnieją liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z, t}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |x| > |y-z+t|\\ |y| > |x-z+t|\\ |z| > |x-y+t |\\ |t|> |x-y+z| \end{cases}}\)
a następnie rozwiązać układ nierówności przeciwnych
12. rozwiązane przez Ponewora
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, dla której istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2 - 1}\). Wykazać, iż istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) że \(\displaystyle{ p= 2b^2 - c^2}\).
13. rozwiązane przez Hydra147
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki że \(\displaystyle{ a_{3n+1}= 1}\) dla \(\displaystyle{ n =0, 1, 2, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3n}= 0}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, 3, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, …}\) jest okresowy ? Podać dowód bądź kontrprzykład
14. W pewnym królestwie jest 13 miast. Między pewnymi parami miast tworzymy dwukierunkowe bezpośrednie połączenia autobusowe, kolejowe lub lotnicze. Jaka najmniejsza liczbę połączeń trzeba utworzyć, aby, po wybraniu dowolnej pary środków transportu, można było dojechać z każdego miasta do każdego innego, nie używając pojazdów trzeciego rodzaju ?
baltic
15. rozwiązane przez mol_ksiazkowy
Dwie osoby grają na nieskończonej szachownicy w kółko i krzyżyk. Wygrywa ten, kto jako pierwszy zbuduje kwadrat \(\displaystyle{ 2 \times 2}\).
Kto ma strategię wygrywającą i jaką ?
16. rozwiązane przez mortan517
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^3 + (\frac{x}{2x-1})^3 =\frac{3^5}{2^6}}\)
KöMaL
17. rozwiązane przez Marcinek665
Niech \(\displaystyle{ A= \{ a^2+ ab+ b^2 \ : a, b \in Z \}}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ xy \in A}\).
Uwaga: \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych
18. rozwiązane przez yorgina i Hydra147
Wykazać, że ciąg określony rekurencją \(\displaystyle{ u_1 =1 ; u_2 = 2}\) ; oraz \(\displaystyle{ u_{n+1}= 3u_n - u_{n-1}}\) pokrywa się z ciągiem Fibbonaciego o indeksach nieparzystych (tj. z ciągiem \(\displaystyle{ F_{2n-1}}\)).
19. Czy w trójkącie Pascala istnieje wiersz a w nim różne elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) że \(\displaystyle{ b=2a}\) oraz \(\displaystyle{ d=2c}\) ?
20. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) może być wyrażona na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów jako suma trzech ułamków prostych (składniki mogą się powtarzać) i wyznaczyć je.
21. rozwiązane przez yorgina
Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f}\) odwzorowujących zbiór \(\displaystyle{ n}\)- elementowy w ten sam zbiór, że \(\displaystyle{ f^{n-1}}\) jest funkcją stałą, zaś \(\displaystyle{ f^{n-2}}\) nie jest funkcją stałą, gdzie \(\displaystyle{ f^{n} = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}}\), a \(\displaystyle{ n}\) jest ustaloną liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 2}\) ?
om 35
22. Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków trójkąta
om 37
23. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym oraz \(\displaystyle{ A_1, ..., A_n}\) jego różnymi podzbiorami. Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) taki, że zbiory \(\displaystyle{ B_j = A_j \backslash \{x \}}\) także są różne między sobą.
zb
24. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć ułamek w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{47}{245}, \frac{34}{177})}\) z najmniejszym możliwie mianownikiem
KöMaL
25. rozwiązane przez Kartezjusza
Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa do \(\displaystyle{ BC}\). Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ |BD|= |CE|}\) to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny
26. Różne między sobą liczby rzeczywiste ustawione są w prostokąt. W każdym wierszu liczby czytane z lewa do prawej tworzą ciąg rosnący. Zamienia się porządek liczb o poszczególnych kolumnach tak, aby liczby czytane z góry na dół w każdej kolumnie tworzyły ciąg rosnący. Udowodnić, że po tej zamianie liczby we wszystkich wierszach nadal tworzą ciągi rosnące.
mom 87 r. zadanie N
27. Ile jest różnych zbiorów złożonych z \(\displaystyle{ n-3}\) przekątnych \(\displaystyle{ n}\) kąta wypukłego, takich że żadne dwie z nich nie przecinają się wewnątrz \(\displaystyle{ n}\) kąta i żadna trójka z nich nie jest trójkątem ?
28. Dane są liczby \(\displaystyle{ c_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,,…,n}\) oraz \(\displaystyle{ n>2}\) takie, że \(\displaystyle{ (n-1)(c_1^2 +...+ c_n^2) = (c_1 +...+ c_n)^2}\)
Dowieść, że albo wszystkie one są nieujemne albo wszystkie są niedodatnie.
om77
29. Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na trzy podzbiory:
\(\displaystyle{ A= \{ 0, 3, 6, 8, 9, … \}}\) , \(\displaystyle{ B= \{ 1, 4, 7, 11, 14, … \}}\), \(\displaystyle{ C= \{ 2, 5, 10, 13, …. \}}\)
Wyjaśnić konstrukcję tych zbiorów
30. rozwiązane przez Msciwoja
Każde dwa z trzech okręgów o promieniach \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) są styczne zewnętrznie. Oblicz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych okręgów.
31. rozwiązane przez Kaf
Rozwiązać układ równań:
x \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+ 2xy +y^2}+\frac{3x^2+ 2xy+y^2}{x^2+ 2xy+3y^2}=2\\3x - 2y =1 \end{cases}}\)
KöMaL
32. Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą jego ścianę pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian innego koloru
33. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieją trzy różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie że:
1) \(\displaystyle{ x^{y^z}=z^{y^x}}\)
2) \(\displaystyle{ x^{y^x}=y^{x^y}}\)
3) \(\displaystyle{ (x+y)^{z}=y x^z =x y^z}\)
?
Uwaga: 1) 2) 3) są oddzielnymi zadaniami
znajomego. Udowodnić, że wśród nich jest matematyk który ma tylko jednego znajomego.
2. Liczby \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k}\) są różnymi elementami zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ k \geq 2}\), takimi że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ a_i(a_{i+1}-1)}\) dla \(\displaystyle{ i =1, ..., k-1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_k(a_1-1)}\)
3. Zbiór \(\displaystyle{ A \subset [0, 1]}\) jest złożony z rozłącznych odcinków. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \neq \frac{1}{10}}\). Wykazać, ze suma długości wszystkich odcinków ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
4. Wykazać, że w wypukłym \(\displaystyle{ n}\) kącie można znaleźć \(\displaystyle{ n-2}\) takich punktów, że \(\displaystyle{ B_2, ...., B_{n-1}}\) iż każdy trójkąt \(\displaystyle{ A_iA_jA_k}\) zawiera dokładnie jeden z tych punktów.
Dlaczego założenie o wypukłości jest istotne ?
5. Wewnątrz kwadratu jest zbiór odcinków o końcach na obwodzie kwadratu. Suma długości tych odcinków jest równa \(\displaystyle{ 3}\). Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ 8r <1}\) to w kwadracie tym istnieje koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\) rozłączne z każdym z tych odcinków (tj. nie przecinające żadnego z nich).
6. Niech \(\displaystyle{ p}\) bedzie liczba pierwsza, a \(\displaystyle{ n}\) liczba naturalna. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ pn^2}\) ma co najwyżej jeden dzielnik \(\displaystyle{ d}\) taki że \(\displaystyle{ n^2+ d}\) jest kwadratem liczby całkowitej
7. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalną, to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ n=\frac{ab+1}{a+b}}\)
8. rozwiązane przez Hydra147
Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest ustaloną liczbą całkowitą to niech
\(\displaystyle{ f_k(x, y)= x^2+kxy+y^2}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in Z}\)
Wykazać, że nie istnieje \(\displaystyle{ k}\), takie, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f_k}\) jest zbiór \(\displaystyle{ Z}\).
9. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ r, s}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2 - (a+d)x + ad-bc=0}\) to
\(\displaystyle{ r^3}\) i \(\displaystyle{ s^3}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ x^2 - (a^3+ d^3+ 3abc+ 3bcd )x + (ad - bc)^3=0}\)
10. Dowieść, że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są takie, że \(\displaystyle{ x^p - y^q = 1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ p > q >3}\) to \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\)
m
11. rozwiązane przez timona92
Wykazać, że nie istnieją liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z, t}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |x| > |y-z+t|\\ |y| > |x-z+t|\\ |z| > |x-y+t |\\ |t|> |x-y+z| \end{cases}}\)
a następnie rozwiązać układ nierówności przeciwnych
12. rozwiązane przez Ponewora
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, dla której istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a^2 - 1}\). Wykazać, iż istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) że \(\displaystyle{ p= 2b^2 - c^2}\).
13. rozwiązane przez Hydra147
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki że \(\displaystyle{ a_{3n+1}= 1}\) dla \(\displaystyle{ n =0, 1, 2, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3n}= 0}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, 3, …}\) oraz \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, …}\) jest okresowy ? Podać dowód bądź kontrprzykład
14. W pewnym królestwie jest 13 miast. Między pewnymi parami miast tworzymy dwukierunkowe bezpośrednie połączenia autobusowe, kolejowe lub lotnicze. Jaka najmniejsza liczbę połączeń trzeba utworzyć, aby, po wybraniu dowolnej pary środków transportu, można było dojechać z każdego miasta do każdego innego, nie używając pojazdów trzeciego rodzaju ?
baltic
15. rozwiązane przez mol_ksiazkowy
Dwie osoby grają na nieskończonej szachownicy w kółko i krzyżyk. Wygrywa ten, kto jako pierwszy zbuduje kwadrat \(\displaystyle{ 2 \times 2}\).
Kto ma strategię wygrywającą i jaką ?
16. rozwiązane przez mortan517
Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^3 + (\frac{x}{2x-1})^3 =\frac{3^5}{2^6}}\)
KöMaL
17. rozwiązane przez Marcinek665
Niech \(\displaystyle{ A= \{ a^2+ ab+ b^2 \ : a, b \in Z \}}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ xy \in A}\).
Uwaga: \(\displaystyle{ Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych
18. rozwiązane przez yorgina i Hydra147
Wykazać, że ciąg określony rekurencją \(\displaystyle{ u_1 =1 ; u_2 = 2}\) ; oraz \(\displaystyle{ u_{n+1}= 3u_n - u_{n-1}}\) pokrywa się z ciągiem Fibbonaciego o indeksach nieparzystych (tj. z ciągiem \(\displaystyle{ F_{2n-1}}\)).
19. Czy w trójkącie Pascala istnieje wiersz a w nim różne elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) że \(\displaystyle{ b=2a}\) oraz \(\displaystyle{ d=2c}\) ?
20. rozwiązane przez Hydra147
Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) może być wyrażona na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów jako suma trzech ułamków prostych (składniki mogą się powtarzać) i wyznaczyć je.
21. rozwiązane przez yorgina
Ile jest funkcji \(\displaystyle{ f}\) odwzorowujących zbiór \(\displaystyle{ n}\)- elementowy w ten sam zbiór, że \(\displaystyle{ f^{n-1}}\) jest funkcją stałą, zaś \(\displaystyle{ f^{n-2}}\) nie jest funkcją stałą, gdzie \(\displaystyle{ f^{n} = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}}\), a \(\displaystyle{ n}\) jest ustaloną liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 2}\) ?
om 35
22. Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków trójkąta
om 37
23. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym oraz \(\displaystyle{ A_1, ..., A_n}\) jego różnymi podzbiorami. Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) taki, że zbiory \(\displaystyle{ B_j = A_j \backslash \{x \}}\) także są różne między sobą.
zb
24. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć ułamek w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{47}{245}, \frac{34}{177})}\) z najmniejszym możliwie mianownikiem
KöMaL
25. rozwiązane przez Kartezjusza
Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa do \(\displaystyle{ BC}\). Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ |BD|= |CE|}\) to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny
26. Różne między sobą liczby rzeczywiste ustawione są w prostokąt. W każdym wierszu liczby czytane z lewa do prawej tworzą ciąg rosnący. Zamienia się porządek liczb o poszczególnych kolumnach tak, aby liczby czytane z góry na dół w każdej kolumnie tworzyły ciąg rosnący. Udowodnić, że po tej zamianie liczby we wszystkich wierszach nadal tworzą ciągi rosnące.
mom 87 r. zadanie N
27. Ile jest różnych zbiorów złożonych z \(\displaystyle{ n-3}\) przekątnych \(\displaystyle{ n}\) kąta wypukłego, takich że żadne dwie z nich nie przecinają się wewnątrz \(\displaystyle{ n}\) kąta i żadna trójka z nich nie jest trójkątem ?
28. Dane są liczby \(\displaystyle{ c_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,,…,n}\) oraz \(\displaystyle{ n>2}\) takie, że \(\displaystyle{ (n-1)(c_1^2 +...+ c_n^2) = (c_1 +...+ c_n)^2}\)
Dowieść, że albo wszystkie one są nieujemne albo wszystkie są niedodatnie.
om77
29. Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na trzy podzbiory:
\(\displaystyle{ A= \{ 0, 3, 6, 8, 9, … \}}\) , \(\displaystyle{ B= \{ 1, 4, 7, 11, 14, … \}}\), \(\displaystyle{ C= \{ 2, 5, 10, 13, …. \}}\)
Wyjaśnić konstrukcję tych zbiorów
30. rozwiązane przez Msciwoja
Każde dwa z trzech okręgów o promieniach \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\) są styczne zewnętrznie. Oblicz długość promienia okręgu przechodzącego przez punkty styczności tych okręgów.
31. rozwiązane przez Kaf
Rozwiązać układ równań:
x \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2+2xy+3y^2}{3x^2+ 2xy +y^2}+\frac{3x^2+ 2xy+y^2}{x^2+ 2xy+3y^2}=2\\3x - 2y =1 \end{cases}}\)
KöMaL
32. Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą jego ścianę pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian innego koloru
33. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieją trzy różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie że:
1) \(\displaystyle{ x^{y^z}=z^{y^x}}\)
2) \(\displaystyle{ x^{y^x}=y^{x^y}}\)
3) \(\displaystyle{ (x+y)^{z}=y x^z =x y^z}\)
?
Uwaga: 1) 2) 3) są oddzielnymi zadaniami