Matematyka.pl

Tak jak podałam w temacie, zadanie z którym mam problem, dotyczy obliczania pola obszaru za pomocą całki podwójnej. Obszar, o którym mowa w zadaniu to położona w I ćwiartce część koła:
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \le 2}\)
Kompletnie nie mam pojęcia, jakie wybrać tutaj granice całkowania i czy powinnam przechodzić na współrzędne biegunowe.

Jeżeli całkujesz to pole to zdecydowanie przejdź na wsp. biegunowe. Jak zmienia się x a jak y?

Czyli...?
\(\displaystyle{ x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \\ J=r \\ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \\ ... \le r \le \sqrt{2}}\)
Nie wiem, jak z jednej strony ograniczyć promień w tym wypadku :/

Polecam zastosować przesunięte wspolrzedne biegunowe

Przy przesuniętych to już całkiem nie wiem, jak sobie poradzić...

Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

Aaaa... No i wszystko jasne Tak obstawiałam, że promień z drugiej strony będzie ograniczało 0, ale nie byłam tego pewna!
Wielkie dzięki za pomoc!

P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r?

SPQR_94 pisze:P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r.

Przelicz dla pewności, jako proste ćwiczenie

P.S. Czy przy zastosowaniu takich przesuniętych współrzędnych biegunowych jakobian wynosi r?

Zgadza się

Mam jeszcze jedno pytanie... Zastanawiam się, czy przy przechodzeniu na współrzędne biegunowe przesunięte nie powinnam jakoś zmienić zakresu, do którego należy \(\displaystyle{ \alpha}\)?
Czy zakres \(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\) jest nadal aktualny?

Wtedy kąt bierzemy "pelny"

bartek118 pisze:Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

Złe ograniczenie na promień gdy przyjmiemy, że kąt jest "pełny", w przypadku tych współrzędnych tak prosto nie będzie.

Według mnie lepiej zastosować standardowe współrzędne biegunowe i wtedy ograniczenie na promień bierzemy z warunku \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2}\).

Lider_M pisze:

bartek118 pisze:Przesunięte, czyli
\(\displaystyle{ x-1 = r \cos \alpha \\
y-1 = r \sin \alpha}\)
No a promień jest taki: \(\displaystyle{ r \in (0, \sqrt{2}]}\)

Złe ograniczenie na promień gdy przyjmiemy, że kąt jest "pełny", w przypadku tych współrzędnych tak prosto nie będzie.

Według mnie lepiej zastosować standardowe współrzędne biegunowe i wtedy ograniczenie na promień bierzemy z warunku \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2}\).

Myślę, że na jedno wychodzi właściwie; i tak trzeba uważać przy przecięciach z osiami.

Tylko w przypadku standardowych biegunowych mamy ograniczenia \(\displaystyle{ 0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},0\leqslant r\leqslant 2(\cos\varphi+\sin\varphi)}\), a w przypadku przesuniętych będą o wiele trudniejsze.

Dyskusja ze wszech miar pożyteczna, ale czy ktoś z dyskutujących narysował ten obszar? PO narysowaniu widać, że nie potrzeba żadnych całek, żeby wyliczyć pole.

A jeżeli już koniecznie musimy całkować, to najłatwiej policzyć pole kołą i odjąć od niego 2 razy pole kawałka koła, które leży pod osią OX. To całkuje sie dość prosto.