Matematyka.pl

oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 2}\arctan\left [\frac{96}{11}(\frac{\sqrt[4]{x+14}-\sqrt[3]{10-x}}{x-2})\right ]}\)

Reguła de L'Hospitala, wzór Maclaurina. Spróbuj np. tych metod.

Reguła de L'Hospitala,

można przekształcić na \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[4]{t+16}+ \sqrt[3]{t-8}}{t} = \frac{11}{96}}\) tj. będzie odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). (\(\displaystyle{ t = x-2}\)).
A jak inaczej...?

mol_ksiazkowy pisze:

Reguła de L'Hospitala,

można przekształcić na \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[4]{t+16}+ \sqrt[3]{t-8}}{t} = \frac{11}{96}}\) tj. będzie odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). (\(\displaystyle{ t = x-2}\)).
A jak inaczej...?

np tak: Niech \(\displaystyle{ a=\sqrt[4]{t+16},\ b=\sqrt[3]{t-8}}\), czyli \(\displaystyle{ a=[(t+16)^3]^\frac{1}{12}=A^{\frac{1}{12}}, b=[(t-8)^4]^\frac{1}{12}=B^{\frac{1}{12}}}\)
i teraz
\(\displaystyle{ A^{12}-B^{12}=(A-B)(A^{11}+A^{10}B+\dots+AB^{10}+B^11)}\)

czyli takie troszkę wypasione sprzężenie.

Jeszczeby można z \(\displaystyle{ \frac{\sqrt[4]{t+16} - \sqrt[4]{16}}{t} + \frac{\sqrt[3]{t- 8} - \sqrt[3]{-8}}{t}}\)