Matematyka.pl

Znalazłem definicję funkcji uwikłanej:
Funkcja y=f(x) spełniająca w danym przedziale równanie F(x,y)=0 jest funkcją uwikłaną.
Ale nie rozumiem czym jest owe F(x,y)=0 ???

Znalazłem też twierdzenie o funkcji uwikłanej:
Jeżeli funkcja f(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} i \frac{\partial f}{\partial y}}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\)
\(\displaystyle{ f(x_{0},y_{0})=0}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}) \neq 0}\)
(DLACZEGO TU JEST TAKI WARUNEK)?
to 1) dla każdej dostatecznie małej liczby \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ \delta>0}\), że każdej wartości x z przedziału \(\displaystyle{ (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)}\) odowiada dokładnie jedno rozwiązanie y(x) równania f(x,y)=0 należące do przedziału \(\displaystyle{ y_{0}-\epsilon, y_{0}+\epsilon}\)
O CO TU CHODZI? CZY MOŻNA TO POWIEDZIEĆ JAKOŚ PROŚCIEJ?
2) funkcja y(x) jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)}\) i ma w nim ciągłą pochodną wyrażoną wzorem:
\(\displaystyle{ y'(x)=- \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}}\) gdzie y=y(x)

CZY KTOŚ ZNA PROSTSZE TWIERDZENIE O FUNKCJI UWIKŁANEJ, TAKIE ŻEBY POWIEDZIEĆ DOBRZE SWOIMI SŁOWAMI ?

Tutaj masz to dobrze wyjaśnione z przykładami:

Funkcja y=f(x) spełniająca w danym przedziale równanie F(x,y)=0 jest funkcją uwikłaną.
Ale nie rozumiem czym jest owe F(x,y)=0 ???

No jakieś równanie dwóch zmiennych, w którym uwikłana jest funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Dajmy na to w równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-1=0}\) jest uwikłana np. funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1-x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\).

Przez \(\displaystyle{ F(x,y)}\) rozumiemy tutaj wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+y^2-1}\).