Matematyka.pl

Wykazać, że zachodzi zawieranie zbiorów:
\(\displaystyle{ (A_{1} \setminus B_{1}) \cap (A_{2} \setminus B_{2}) \subset (A_{1} \cap A_{2})(B_{1} \cap B_{2})}\)
oraz podać przykłady, że nie zachodzi zawieranie w drugą stronę.

A co to jest \(\displaystyle{ (A_{1} \cap A_{2})(B_{1} \cap B_{2})}\) ?

JK

Nie wiem ;/ Jak to zrobić?

No to wyrażę się jaśniej: nie ma czegoś takiego, jak \(\displaystyle{ (A_{1} \cap A_{2})(B_{1} \cap B_{2})}\). Dopóki nie poprawisz treści zadania, nic nie da się zrobić.

Może chodzi o

\(\displaystyle{ (A_{1} \setminus B_{1}) \cap (A_{2} \setminus B_{2}) \subset (A_{1} \cap A_{2}) \setminus (B_{1} \cap B_{2})}\) ?

JK

Dokładnie tak. Jak to rozwiązać?

Normalnie, z definicji zawierania. Ustalasz dowolny element należący do strony lewej i starasz się pokazać, że jest on elementem strony prawej.

JK

Nie wiem jak to zrobić...

a co oznacza, że \(\displaystyle{ x \in (A_{1} \setminus B_{1})}\) ?

x należy do zbioru \(\displaystyle{ A_{1}}\) pomniejszonego o zbiór \(\displaystyle{ B_{1}}\).

no to teraz jak to rozpiszesz matematycznie? (używając symboli matematycznych)

Nie mam pomysłu...

A znasz formalną (symboliczną) definicję różnicy zbiorów? Jak nie, to znajdź - zrób coś, a nie czekaj na gotowca.

JK

Wobec \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow C \setminus B \subset C \setminus A,D \cap E \subset D \cup E}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2) \setminus (B_1 \cup B_2) \subset (A_{1} \cap A_{2}) \setminus (B_{1} \cap B_{2})}\), a wobec \(\displaystyle{ (G \cap H) \setminus (I \cup J)=(G \setminus I) \cap (H \setminus J)}\) dostajesz swoją tezę.

Seth Briars pisze:Wobec \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow C \setminus B \subset C \setminus A,D \cap E \subset D \cup E}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ (A_1 \cap A_2) \setminus (B_1 \cup B_2) \subset (A_{1} \cap A_{2}) \setminus (B_{1} \cap B_{2})}\), a wobec \(\displaystyle{ (G \cap H) \setminus (I \cup J)=(G \setminus I) \cap (H \setminus J)}\) dostajesz swoją tezę.

Rozwiązanie jest raczej niewystarczające (chociaż poprawne), bo powołujesz się na fakty, których siła jest taka sama, jak dowodzone twierdzenie. Jeżeli fakty, na które się powołujesz, były wcześniej dowiedzione, to jest OK, ale jeśli nie, to te fakty też wymagają dowodów.

JK