Matematyka.pl

Witam,
Mam dane przekształcenie namiotowe:
\(\displaystyle{ T: [0,1] \to [0,1]}\)
dane wzorem:
\(\displaystyle{ T(x)=1-|1-2x|}\)

Proszę o pomoc w wykazaniu, że orbita punktu \(\displaystyle{ x_0= \pi -3}\) jest zbiorem nieskończonym.

Załóżmy nie wprost, że orbita jest skończona. W szczególności oznacza to, że punkt \(\displaystyle{ \pi-3}\) jest okresowy o okresie równym \(\displaystyle{ k}\) lub po pewnej liczbie iteracji, powiedzmy \(\displaystyle{ \ell}\), wpadnie w zero.

W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ \pi-3}\) jest więc punktem stałym odwzorowania \(\displaystyle{ T^k}\), które jednak jak łatwo sprawdzić, ma punkty stałe o obu współrzędnych wymiernych.

W drugim przypadku podobnie - przeciwobrazy zera to wyłącznie punkty wymierne, podobnie przeciwobrazy punktów wymiernych to też punkty wymierne.

To tylko szkic, szczegóły pozostawiam Tobie do uzupełnienia.