Matematyka.pl

udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b}=1}\) to
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b ^{2} }{c+a}+ \frac{c^{2}}{a+b}=0}\)

Przerzuć wyrazy z założenia tak, żeby po jednej stronie równości było zero, bo, jak widzisz, wyrażenie z tezy równa się zero. Następnie pewnie musisz sprowadzić do wspólnego mianownika, zastosować wzór skróconego mnożenia (zwinięcie do wzoru), jak zwykle.

robiłem tak i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{a^{3}+bc^{2}-ac^{2}}{(b+c)(c+a)(a+b)} }}\)

i nie wiem co dalej

Tak na oko, to to wyrażenie powinno być symetryczne za względu na wszystkie zmienne, a Twoje nie jest. Sprawdż rachunki

Pomnóż obie strony podanej w założeniu równości kolejno przez \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\), i tak otrzymane równości dodaj stronami.

a4karo pisze:wyrażenie powinno być symetryczne za względu na wszystkie zmienne

co to znaczy?

To znaczy, że np. w liczniku powinny być wyrażenia typu

\(\displaystyle{ a^3 + b^3 + c^3}\)

albo

\(\displaystyle{ a^2 b + b^2 c + c^2 a}\)

A tu są różne potęgi.

@down rzeczywiście, już poprawiłem

Nie ja jestem autorem tematu, ale dziękuję za wyjaśnienie

wyszło mi
\(\displaystyle{ \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(b+c)(c+a)(a+b)} }}\)
można coś z tym zrobić dalej?

Tak jak Pan Pawłowski wspomniał. Słuchając Jego wskazówki otrzymujesz, że zachodzi kolejno
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{ab}{a+c} +\frac{ac}{a+b}= a}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab}{b+c} + \frac{b ^{2} }{a+c} + \frac{bc}{a+b} =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^{2}}{a+b} = c}\)
Sumując to stronami otrzymujesz, że
\(\displaystyle{ (\frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{a(b+c)}{(b+c)}) + (\frac{b^{2}}{a+c} + \frac{b(a+c)}{a+c}) + (\frac{c^{2}}{a+b}+ \frac{c(a+b)}{a+b}) = a + b + c}\). Co daje nam po redukcji \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b ^{2} }{c+a}+ \frac{c^{2}}{a+b}=0}\) czyli tezę.
Inny sposób. \(\displaystyle{ a, b, c \neq 0}\) Przekształcamy założenie do postaci \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc= 0}\) i mamy, że po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(a+c)}\) drugiej równości zachodzi \(\displaystyle{ (a^{4} + a^{2}bc) + (b^{4}+ab^{2}c)+(c^{4}+abc^{2}) + ac^{3} + a^{3}c + ab^{3}+a^{3}b + b^{3}c + bc^{3} = 0}\) a to jest oczywiście prawdą, bo \(\displaystyle{ (a^{4} + a^{2}bc) + (b^{4}+ab^{2}c)+(c^{4}+abc^{2}) + ac^{3} + a^{3}c + ab^{3}+a^{3}b + b^{3}c + bc^{3} = a(-b^{3}-c^{3})+b(-a^{3}-c^{3})+c(-a^{3}-b^{3}) + ac^{3} + a^{3}c + ab^{3}+a^{3}b + b^{3}c + bc^{3} = 0}\).
Wystarczy rozpatrzeć przypadek, gdy któraś z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) równa się zero. BSO - \(\displaystyle{ a = 0}\). Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ \frac{b}{c}+ \frac{c}{b} = 1}\) ale wtedy \(\displaystyle{ b=c=0}\) co daje sprzeczność. Więc żadna z liczb się nie zeruje.