Matematyka.pl

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów:
Jeżeli \(\displaystyle{ f : \left[ n_{0};+ \infty \right] \rightarrow \left[ 0;+ \infty \right]}\) jest malejąca i ciągła to:
\(\displaystyle{ \int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x}\) jest zbieżna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n)}\) jest zbieżny.

Chciałem udowodnić implikację w jedną stronę:
\(\displaystyle{ \int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x}\) jest zbieżna \(\displaystyle{ \Rightarrow \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n)}\) jest zbieżny.
Miałem pomysł taki ,że jeśli ta funkcja byłaby całkowalna w sensie Riemanna
to można by przy podziale będącym kolejnymi liczbami naturalnymi
pokazać że \(\displaystyle{ \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n) (n+1-n)}\) jest ograniczony
przez sumę górną i dolną dla tego podziału.
A one z kolei są ograniczone ,bo całka jest zbieżna z założenia.
Ale to tylko pomysł ,który wcale nie musi być poprawny.

Liczę na odpowiedź.

to jest dobry pomysł - suma \(\displaystyle{ \sum_{n_0}^k f(n)}\) jest przy podanych założeniach odnośnie do funkcji \(\displaystyle{ f}\) sumą odpowiadającą pewnemu podziałowi przedziału \(\displaystyle{ [n_0, k]}\). czyli jest większa od całki, co raczej nadawałoby się do dowodu w drugą stronę. czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?

klaustrofob pisze: czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?

W głowie.
Ale nie dałoby się udowodnić, że ta funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna?
I czy wtedy mój dowód implikacji byłby poprawny?

ale nie ma czegoś takiego jak całkowalność w sensie Riemanna na przedziale nieskończonym. całka R zawsze określona jest na przedziale skończonym - całkę niewłaściwą rozumiemy jako granicę całek po coraz dłuższych przedziałach. czyli i tak dowód powinien iść jakoś przez rozważanie całek na przedziałach skończonych - odpowiadałyby im sumy częściowe szeregu.
nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?

klaustrofob pisze:nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?

Mi chodzi o to ,że szereg ten jest ograniczony przez sumę górną i sumę dolną dla podziału, będącego kolejnymi liczbami naturalnymi.
I mamy założenie że całka jest zbieżna ,więc kombinowałem że te sumy dla tego podziału też muszą być zbieżne.

a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.

klaustrofob pisze:a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.

Widzę ,że różnica pola pod wykresem dla funkcji i suma tego szeregu różnią się od siebie o skończoną wartość. Jeśli jedno jest zbieżne to drugie też, ale nie wiem jak to udowodnić.

szereg możesz potraktować jako funkcję schodkową, stałą między kolejnymi liczbami naturalnymi. wtedy są to schodki nad/pod wykresem, zależy jak pokombinujesz. jeżeli masz schodki pod wykresem, to całka jest większa, a to pokazuje, że sumy częściowe szeregu o wyrazach dodatnich są ograniczone z góry (przy założeniu zbieżności całki)