Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
XF13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 maja 2014, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: XF13 » 3 maja 2014, o 20:12

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów:
Jeżeli \(f : \left[ n_{0};+ \infty \right] \rightarrow \left[ 0;+ \infty \right]\) jest malejąca i ciągła to:
\(\int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x\) jest zbieżna \(\Leftrightarrow \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n)\) jest zbieżny.

Chciałem udowodnić implikację w jedną stronę:
\(\int_{ n_{0} }^{+ \infty } f(x) \mbox{d}x\) jest zbieżna \(\Rightarrow \sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n)\) jest zbieżny.
Miałem pomysł taki ,że jeśli ta funkcja byłaby całkowalna w sensie Riemanna
to można by przy podziale będącym kolejnymi liczbami naturalnymi
pokazać że \(\sum_{n= n_{0} }^{+ \infty } f(n) (n+1-n)\) jest ograniczony
przez sumę górną i dolną dla tego podziału.
A one z kolei są ograniczone ,bo całka jest zbieżna z założenia.
Ale to tylko pomysł ,który wcale nie musi być poprawny.

Liczę na odpowiedź.

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: klaustrofob » 3 maja 2014, o 20:50

to jest dobry pomysł - suma \(\sum_{n_0}^k f(n)\) jest przy podanych założeniach odnośnie do funkcji \(f\) sumą odpowiadającą pewnemu podziałowi przedziału \([n_0, k]\). czyli jest większa od całki, co raczej nadawałoby się do dowodu w drugą stronę. czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?

XF13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 maja 2014, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: XF13 » 3 maja 2014, o 21:07

klaustrofob pisze: czy pracujesz nad tym zadaniem "w głowie", czy posługujesz się rysunkiem?
W głowie.
Ale nie dałoby się udowodnić, że ta funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna?
I czy wtedy mój dowód implikacji byłby poprawny?

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: klaustrofob » 3 maja 2014, o 21:21

ale nie ma czegoś takiego jak całkowalność w sensie Riemanna na przedziale nieskończonym. całka R zawsze określona jest na przedziale skończonym - całkę niewłaściwą rozumiemy jako granicę całek po coraz dłuższych przedziałach. czyli i tak dowód powinien iść jakoś przez rozważanie całek na przedziałach skończonych - odpowiadałyby im sumy częściowe szeregu.
nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?

XF13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 maja 2014, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: XF13 » 3 maja 2014, o 21:34

klaustrofob pisze:nie bardzo rozumiem, jak chciałbyś ograniczać szereg przez sumy całkowe dolne/górne - sumy górne przy rozdrabnianiu podziału maleją, a dolne rosną?
Mi chodzi o to ,że szereg ten jest ograniczony przez sumę górną i sumę dolną dla podziału, będącego kolejnymi liczbami naturalnymi.
I mamy założenie że całka jest zbieżna ,więc kombinowałem że te sumy dla tego podziału też muszą być zbieżne.

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: klaustrofob » 3 maja 2014, o 21:38

a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.

XF13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 1 maja 2014, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: XF13 » 3 maja 2014, o 22:49

klaustrofob pisze:a, rozumiem. ok. ale zrób rysunek - to pozwoli Ci zobaczyć wyraźniej związek między szeregiem a funkcją i jej całką. chyba, że "widzisz" to w głowie i wolisz tak pracować.
Widzę ,że różnica pola pod wykresem dla funkcji i suma tego szeregu różnią się od siebie o skończoną wartość. Jeśli jedno jest zbieżne to drugie też, ale nie wiem jak to udowodnić.

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław

Udowodnij następujące kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Post autor: klaustrofob » 3 maja 2014, o 22:54

szereg możesz potraktować jako funkcję schodkową, stałą między kolejnymi liczbami naturalnymi. wtedy są to schodki nad/pod wykresem, zależy jak pokombinujesz. jeżeli masz schodki pod wykresem, to całka jest większa, a to pokazuje, że sumy częściowe szeregu o wyrazach dodatnich są ograniczone z góry (przy założeniu zbieżności całki)

ODPOWIEDZ