Matematyka.pl

Wyznaczyć dwuwymiarową miarę zewnętrzną Lebesgue'a oraz (o ile istnieje) miarę Lebesgue'a zbioru
\(\displaystyle{ A:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2:0\leqslant x\leqslant 1\wedge 0\leqslant y\leqslant 1+x\right\}\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})^2}\)

Zbiór liczb niewymiernych ma pełną miarę. Jego kwadrat też. Tak więc pozostaje miara tego zbioru czyli pole trójkąta. Oczywiście zbiór jest mierzalny jako przekrój dwóch zbiorów mierzalnych.

Co to znaczy, że ma pełną miarę? Ten zbiór nie wyznacza chyba trójkąta, wydaje mi się, że ten obszar jest sumą trójkąta i kwadratu a jego pole jest równe \(\displaystyle{ 3/2}\). Czy mam rację?

Czyli trapez. Ale idea ta sama. Cóż to jest pełna miara? Przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) ma miarę jeden. A zbiór liczb niewymiernych z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) też ma miarę jeden. Tzn. pełną miarę, jeśli rozważamy miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Ogólnie zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ma pełną miarę w przestrzeni z miarą \(\displaystyle{ (X,\mathfrak{M},\mu)}\), jeśli \(\displaystyle{ \mu(X\setminus A)=0}\).

Mam kilka pytań jeśli można:
1. Czym się różni miara Lebesgue'a od zwykłej miary?
2. Czym się różni miara zewnętrzna Lebesgue'a od miary Lebesgue'a?

1. Miara Lebesgue'a jest jedną z miar. Ma swoiste własności. Np. jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia. Oznacza to, że zbiór poddany translacji ma tę samą miarę co zbiór wyjściowy. Ma też i inne własności. Oprócz miary Lebesgue'a na prostej rzeczywistej czy w \(\displaystyle{ \RR^n}\) ważne są miary Borela.

2. Miara zewnętrzna jest określona dla każdego zbioru. Istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Ale zawsze mają miarę zewnętrzną Lebesgue'a. Twierdzenie Catatheodory'ego pozwala skonstruować sigma-ciało zbiorów mierzalnych i miarę zupełną na nim w oparciu o miarę zewnętrzną. Zobacz na tzw. warunek Caratheodory'ego.

Ok. Natomiast zastanawiam się nad przykładem miary zewnętrznej, która nie jest miarą...

. Sprawdź czy wszystkie określone tu miary zewnętrzne są miarami.