Miara Lebesgue'a

[kalik]

Wyznaczyć dwuwymiarową miarę zewnętrzną Lebesgue'a oraz (o ile istnieje) miarę Lebesgue'a zbioru
\(\displaystyle{ A:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2:0\leqslant x\leqslant 1\wedge 0\leqslant y\leqslant 1+x\right\}\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})^2}\)

[szw1710]

Zbiór liczb niewymiernych ma pełną miarę. Jego kwadrat też. Tak więc pozostaje miara tego zbioru czyli pole trójkąta. Oczywiście zbiór jest mierzalny jako przekrój dwóch zbiorów mierzalnych.

[kalik]

Co to znaczy, że ma pełną miarę? Ten zbiór nie wyznacza chyba trójkąta, wydaje mi się, że ten obszar jest sumą trójkąta i kwadratu a jego pole jest równe \(\displaystyle{ 3/2}\). Czy mam rację?

[szw1710]

Czyli trapez. Ale idea ta sama. Cóż to jest pełna miara? Przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) ma miarę jeden. A zbiór liczb niewymiernych z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) też ma miarę jeden. Tzn. pełną miarę, jeśli rozważamy miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Ogólnie zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ma pełną miarę w przestrzeni z miarą \(\displaystyle{ (X,\mathfrak{M},\mu)}\), jeśli \(\displaystyle{ \mu(X\setminus A)=0}\).

[kalik]

Mam kilka pytań jeśli można:
1. Czym się różni miara Lebesgue'a od zwykłej miary?
2. Czym się różni miara zewnętrzna Lebesgue'a od miary Lebesgue'a?

[szw1710]

1. Miara Lebesgue'a jest jedną z miar. Ma swoiste własności. Np. jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia. Oznacza to, że zbiór poddany translacji ma tę samą miarę co zbiór wyjściowy. Ma też i inne własności. Oprócz miary Lebesgue'a na prostej rzeczywistej czy w \(\displaystyle{ \RR^n}\) ważne są miary Borela.

2. Miara zewnętrzna jest określona dla każdego zbioru. Istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Ale zawsze mają miarę zewnętrzną Lebesgue'a. Twierdzenie Catatheodory'ego pozwala skonstruować sigma-ciało zbiorów mierzalnych i miarę zupełną na nim w oparciu o miarę zewnętrzną. Zobacz na tzw. warunek Caratheodory'ego.

[kalik]

Ok. Natomiast zastanawiam się nad przykładem miary zewnętrznej, która nie jest miarą...

[szw1710]

. Sprawdź czy wszystkie określone tu miary zewnętrzne są miarami.