Matematyka.pl

Witam.
Mam kilka nierozwiązanych (i kilka do sprawdzenia) problemów:
1. Zbadaj zbieżność szeregów (kryt. porównawcze):
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \tg 4 ^{-n}}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{ \sqrt[4]{n^{5}} }}\)
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}}\)

2. Udowodnić zbieżność szeregów (kryt. d'Alemberta):
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \tg \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)

Moje rozw:
1. a) Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \sin \frac{\pi}{2^{n}}}\) jest zbieżny do zera, więc możemy mówić o zbieżności szeregu. Porównuję ciąg \(\displaystyle{ a_{n} \le \frac{\pi}{2^{n}}}\), a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^{n}}}\) jest zbieżny, więc szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\) jest zbieżny.

d) \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n} \ge \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{ n} = +\infty}\)
Czyli jest rozb.

2.
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} } \le \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2}\frac{\pi}{2 ^{n} }}\) Stosując kryt. d'Alemberta do drugiego szeregu, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2} \frac{\pi}{2^{n+1}} \frac{2^{n}}{\pi}= \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2} \longrightarrow \frac{1}{2} <1}\)
Czyli szereg jest zbieżny.

Z resztą mam problem. Nie wiem jak szacować tangensa, chyba że są inne sposoby na tego drania

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \tan x \le \sin 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \le \frac{\pi}{4}}\), oczywiście \(\displaystyle{ \sin 2x \le 2x}\)

W 1 c) możesz zastosować kryterium porównawcze w wersji granicznej. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{\sqrt[4]{n^{5}}}{\ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[4]{n}}{\ln n} = \infty}\).
Czyli z rozbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}\) wynika rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{\sqrt[4]{n^{5}}}}\)

A to ciekawe, bo moim zdaniem szereg jest zbieżny...

W 1 c) możesz zastosować kryterium porównawcze w wersji granicznej.

W tym przypadku to kryterium nie roztrzyga. Szereg jest zbieżny na mocy kryterium zagęszczenia.

Można by porównać z odpowiednią potęgą \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Zagęszczanie idzie od ręki.

W tym przypadku to kryterium nie rozstrzyga.

Rozstrzyga, serio, wyczytałem to w książce Fichtenholza.
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0}\) to z zbieżności \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) wynika zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty}\) to z rozbieżności \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) wynika rozbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\).

Z rozbieżności \(\displaystyle{ a_{n}}\) wynika rozbieżność \(\displaystyle{ b_{n}}\), ale nie na odwrót, a tak jest u Ciebie