Mam kilka nierozwiązanych (i kilka do sprawdzenia) problemów:
1. Zbadaj zbieżność szeregów (kryt. porównawcze):
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \tg 4 ^{-n}}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{ \sqrt[4]{n^{5}} }}\)
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}}\)
2. Udowodnić zbieżność szeregów (kryt. d'Alemberta):
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \tg \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\)
Moje rozw:
1. a) Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \sin \frac{\pi}{2^{n}}}\) jest zbieżny do zera, więc możemy mówić o zbieżności szeregu. Porównuję ciąg \(\displaystyle{ a_{n} \le \frac{\pi}{2^{n}}}\), a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^{n}}}\) jest zbieżny, więc szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} }}\) jest zbieżny.
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n} \ge \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{ n} = +\infty}\)
Czyli jest rozb.
2.
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2} \sin \frac{\pi}{2 ^{n} } \le \sum_{n=1}^{\infty} n ^{2}\frac{\pi}{2 ^{n} }}\) Stosując kryt. d'Alemberta do drugiego szeregu, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2} \frac{\pi}{2^{n+1}} \frac{2^{n}}{\pi}= \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2} \longrightarrow \frac{1}{2} <1}\)
Czyli szereg jest zbieżny.
Z resztą mam problem. Nie wiem jak szacować tangensa, chyba że są inne sposoby na tego drania
