Matematyka.pl

Wybieramy losowo i niezaleznie dwie liczby X i Y ze zbioru \(\displaystyle{ b=\left\{1,...,b \right\}}\) (tzn. dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (i,j) \in b \times b}\) mamy \(\displaystyle{ Pr(X=i \wedge Y=j)=\frac{1}{n^{2}}}\)) Wyznacz Wartość oczekiwaną dla \(\displaystyle{ Z=\left| X-Y\right|}\)

A wiec rozpisałem to jako \(\displaystyle{ E[Z]=\sum_{i=1}^{n}( \sum_{j=1}^{n}((\left| i-j\right| ) \cdot \frac{1}{n^{2}}))}\)

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |i-j| = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (i-j) = 2\left[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n}j\right] = 2\left[\sum_{i=1}^{n}i(n-i+1) - \sum_{i=1}^{n} \frac{i+n}{2}n \right]}\)

To można dalej porozbijać i, korzystając ze wzorków na sumę ciągu arytmetycznego oraz na sumę kwadratów, doprowadzić obliczenia do końca.

Potrafię doprowadzić do końca rachunki. Chodziło mi tylko czy idea rozwiązania tego zad. jest dobra

Jest ok.