Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: piti-n » 5 gru 2013, o 18:35

Wybieramy losowo i niezaleznie dwie liczby X i Y ze zbioru \(\displaystyle{ b=\left\{1,...,b \right\}}\) (tzn. dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (i,j) \in b \times b}\) mamy \(\displaystyle{ Pr(X=i \wedge Y=j)=\frac{1}{n^{2}}}\)) Wyznacz Wartość oczekiwaną dla \(\displaystyle{ Z=\left| X-Y\right|}\)

A wiec rozpisałem to jako \(\displaystyle{ E[Z]=\sum_{i=1}^{n}( \sum_{j=1}^{n}((\left| i-j\right| ) \cdot \frac{1}{n^{2}}))}\)

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 5 gru 2013, o 20:23

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |i-j| = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} (i-j) = 2\left[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n}j\right] = 2\left[\sum_{i=1}^{n}i(n-i+1) - \sum_{i=1}^{n} \frac{i+n}{2}n \right]}\)

To można dalej porozbijać i, korzystając ze wzorków na sumę ciągu arytmetycznego oraz na sumę kwadratów, doprowadzić obliczenia do końca.

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: piti-n » 5 gru 2013, o 22:23

Potrafię doprowadzić do końca rachunki. Chodziło mi tylko czy idea rozwiązania tego zad. jest dobra

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Post autor: Adifek » 6 gru 2013, o 01:42

Jest ok.

ODPOWIEDZ