Projekt 2: Przenormowania bez punktów ekstremalnych
: 14 lis 2013, o 13:17
Swego czasu Spektralny proponował uruchomienie na Forum czegoś w rodzaju projektu PolyMath, co miałoby na celu rozwiązywanie wybranego problemu otwartego poprzez dyskusje w grupie, i co - być może - skutkowałoby powstaniem wspólnej publikacji. O założeniach tego pomysłu można więcej przeczytać tutaj. Jeden z takich projektow już został zainicjowany (dotyczył tego, czy pewnik wyboru wynika z istnienia bazy przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem).
Z niedawnej dyskusji dotyczącej punktów ekstremalnych
(zobacz 347601) wynikł, jak się zdaje, dość ciekawy i prawdopodobnie otwarty problem, a mianowicie: Czy istnieje taka nieskończona, zwarta przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ K}\), że kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) ma punkt ekstremalny? Z rozwiązania zadania (b), przedstawionego w tamtej dyskusji, wynika, że jeżeli odpowiedź na powyższe pytanie jest twierdzącą, to szukana przestrzeń \(\displaystyle{ K}\) wzmacniałaby przykłady znalezione przez P. Koszmidera i G. Plebanka, bowiem \(\displaystyle{ C(K)}\) nie byłaby wówczas izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami. Może więc, przynajmniej z ,,psychologicznego" punktu widzenia, lepiej zacząć od prób wykazania, że odpowiedź brzmi: nie, czyli, że prawdziwa jest
Hipoteza 1. Każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń typu \(\displaystyle{ C(K)}\) ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych.
Gdyby to się udało, można pójść oczywiście za ciosem i zastanowić się nad czymś znacznie mocniejszym:
Hipoteza 2. Każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma
ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych. (Wiadomo, że jeżeli dana przestrzeń ma własność Radona-Nikodyma, to znalezienie takiego przenormowania jest niemożliwe; zobacz: rozwiązania zadania (a) w 347601.)
Wspólnie ze Spektralnym chcielibyśmy zachęcić wszystkich zainteresowanych do wzięcia udziału w tym projekcie i dzielenia się swoimi spostrzeżeniami, wątpliwościami i wszystkim, co może się okazać jakimś krokiem w kierunku rozwiązania tych problemów.
Aktualizacja:
Okazuje się, że dla przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) sprawa jest dosyć prosta, a w zasadzie - prosto wynika z tego, co zostało już powiedziane w rozwiązaniu zadania (b) dyskusji 347601. Wybierzmy mianowicie dowolny punkt nieizolowany \(\displaystyle{ t\in K}\) i rozważmy hiperpłaszczyznę \(\displaystyle{ Y=\{f\in C(K)\colon f(t)=0\}}\) oraz przestrzeń \(\displaystyle{ X=Y\oplus\mathbb{R}}\) z normą \(\displaystyle{ \|(f,\alpha)\|=\max\{\|f\|,\vert\alpha\vert\}}\). Wówczas, jak łatwo widać, mamy izomorfizm \(\displaystyle{ X\cong C(K)}\), podczas gdy kula jednostkowa przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) nie ma żadnych punktów ekstremalnych. Rzeczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ (f,\alpha)}\) jest dowolnym punktem kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ X}\), to wobec tego, co zostało wykazane w rozwiązaniu wspomnianego zadania (b), możemy znaleźć taką niezerową funkcję \(\displaystyle{ g\in Y}\), że zarówno \(\displaystyle{ (f+g,\alpha)}\), jak i \(\displaystyle{ (f-g,\alpha)}\) leżą także w kuli jednostkowej. (Przy założeniu, że \(\displaystyle{ C(K)}\) jest izomorficzna ze swoimi hiperpłaszczyznami mieliśmy po prostu \(\displaystyle{ Y\cong Y\oplus\mathbb{R}}\).)
Otwarta zatem pozostaje hipoteza 2.
Z niedawnej dyskusji dotyczącej punktów ekstremalnych
Kod: Zaznacz cały
http://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_point
Hipoteza 1. Każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń typu \(\displaystyle{ C(K)}\) ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych.
Gdyby to się udało, można pójść oczywiście za ciosem i zastanowić się nad czymś znacznie mocniejszym:
Hipoteza 2. Każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma
Kod: Zaznacz cały
http://books.google.co.uk/books?id=7xRlVTVSNpQC&pg=PA93&dq=radon+nikodym+property&hl=en&sa=X&ei=7cCEUv7wMKWR7Abcg4DgBA&ved=0CE0Q6AEwBQ#v=onepage&q=radon%20nikodym%20property&f=false
Wspólnie ze Spektralnym chcielibyśmy zachęcić wszystkich zainteresowanych do wzięcia udziału w tym projekcie i dzielenia się swoimi spostrzeżeniami, wątpliwościami i wszystkim, co może się okazać jakimś krokiem w kierunku rozwiązania tych problemów.
Aktualizacja:
Pokaż dyskusję:
Otwarta zatem pozostaje hipoteza 2.