Wyznaczyć Ext(A)

[Marien]

Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ext\left( A\right)}\), jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{\left( x _{n} \right) \in l ^{\infty}: \forall n\in N \quad \left| x _{n} \right| \le 1\right\}}\) i \(\displaystyle{ X=l ^{\infty}}\).

[szw1710]

Na czuja strzelam: ciągi \(\displaystyle{ e_i}\) mające na \(\displaystyle{ i}\)-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Czyli \(\displaystyle{ e_i(j)=\delta_{ij}}\). Ale też i przeciwne. Więc ogólnie \(\displaystyle{ \pm e_i}\).

Sprawdź tę hipotezę.

[Spektralny]

W przypadku rzeczywistym, punkty ekstremalne to wszystkie ciągi przyjmujące wartości wyłącznie 1 i -1.

[szw1710]

Spektralny, masz rację.

[Spektralny]

Dygresja: kula \(\displaystyle{ c_0}\) (podobnie jak kula \(\displaystyle{ L_1[0,1]}\)) nie ma punktów ekstremalnych dlatego nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną (por. tw. Kreina-Milmana). Można pokazać więcej: \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest izomorficzna z żadną przestrzenią sprzężoną, ale to inna para kaloszy.

[M Ciesielski]

Można pokazać więcej: \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest izomorficzna z żadną przestrzenią sprzężoną, ale to inna para kaloszy.

Podasz jakieś źródło/szczegóły?

[Spektralny]

Jest wiele sposobów by to pokazać. Mój ulubiony to przez

Kod: Zaznacz cały

http://matematicas.unex.es/~fcabello/files/printable/21.pdf

mówiące, że \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest komplementarne w \(\displaystyle{ \ell_\infty = c_0^{**}}\) (mój ulubiony dowód znów tego twierdzenia leci przez teorio-miarowy lemat Phillipsa czyli de facto

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_Grothendiecka

przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_\infty}\)). Wiedząc to wystarczy zastosować nietrudną, ale pomysłową obserwację Lindenstraussa mówiącą iż przestrzeń Banacha jest komplementarna w pewnym dualu wtedy i tylko wtedy, gdy jest komplementarna w swoim bidaulu ([url=http://arxiv.org/pdf/1208.4762v3.pdf]zobacz diagram na stronie 22 tutaj[/url]).

Ostatecznie, niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przenormowaniem \(\displaystyle{ c_0}\). Gdyby \(\displaystyle{ X}\) było izomorficzne z jakimś dualem \(\displaystyle{ Y^*}\) to byłoby komplementarne w \(\displaystyle{ X^{**}}\), a to własność izomorficzna. Stąd \(\displaystyle{ c_0}\) byłoby komplementarne w \(\displaystyle{ \ell_\infty}\), a nie jest.

Istnieje nawet mocniejsze twierdzenie Bessagi-Pełczyńskiego: jeżeli \(\displaystyle{ c_0}\) jest izomorficzne z podprzestrzenią \(\displaystyle{ Y^*}\), to \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) zanurza się w \(\displaystyle{ Y^*}\).

[url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_c0]Szkic dowodu tutaj[/url].

[thom]

W takim razie proponuję zadanie bonusowe: Czy da się równoważnie przenormować \(\displaystyle{ X}\) w ten sposób, by kula jednostkowa nie miała żadnych punktów ekstremalnych, przy czym:
(a) \(\displaystyle{ X=\ell_1}\),
(b) \(\displaystyle{ X=\ell_\infty}\)?

[Spektralny]

Popsuję zabawę z przypadkiem (a): przestrzeń \(\displaystyle{ \ell_1}\) ma własność Radona-Nikodyma, która to jest własnością izomorficzną (tj. każde przenormowanie \(\displaystyle{ \ell_1}\) również ma tę własność). Z twierdzenia Davisa-Phelpsa wynika, że kula każdej przestrzeni z własnością Radona-Nikodyma ma punkty ekstremalne (zob. J. Diestel, J. J. Uhl, Vector measures. Math. Surveys, no. 15, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1977, s. 205).

[thom]

Tak jest.
Kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii \(\displaystyle{ \ell_1}\) jest domknięciem otoczki wypukłej punktów silnie eksponowanych (strongly exposed points), które w szczególności są punktami ekstremalnymi. Być może ciekawe byłoby jednak pytanie o "elementarny" dowód faktu, że dowolne przenormowanie \(\displaystyle{ \ell_1}\) dopuszcza punkty ekstremalne (nie znam takiego).-- 13 lis 2013, o 14:48 --Podaję rozwiązanie do (b):

Krok 1:    

Jak wiadomo, \(\displaystyle{ \ell_\infty\cong C(\beta\mathbb{N})}\). Weźmy dowolny ultrafiltr wolny \(\displaystyle{ \mathcal{U}\in\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}}\) i rozważmy hiperpodprzestrzeń (podprzestrzeń kowymiaru \(\displaystyle{ 1}\)) \(\displaystyle{ Y\subset C(\beta\mathbb{N})}\) daną jako \(\displaystyle{ Y=\{f\in C(\beta\mathbb{N})\colon f(\mathcal{U})=0\}.}\) (Równoważnie można zdefiniować \(\displaystyle{ Y}\) jako przestrzeń złożoną z takich ciągów \(\displaystyle{ x\in\ell_\infty}\), że \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\)-\(\displaystyle{ \lim x=0}\).) Przestrzeń \(\displaystyle{ Y}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\). Najprościej chyba uzasadnić to następująco: wiadomo, że wszystkie hiperpodprzestrzenie danej przestrzeni Banacha są parami izomorficzne (pouczające ćwiczenie), podczas gdy np. taka oto hiperpodprzestrzeń: \(\displaystyle{ \{(x_n)_{n=1}^\infty\in\ell_\infty\colon x_1=0\}}\) jest oczywiście izomorficzna z \(\displaystyle{ \ell_\infty}\).

Krok 2:    

Kula jednostkowa przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) nie ma żadnych punktów ekstremalnych. Ustalmy bowiem dowolnie funkcję \(\displaystyle{ f}\) z owej kuli. Wybierzmy takie otoczenie \(\displaystyle{ V\subset\beta\mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ \vert f\vert<\frac{1}{2}}\) na \(\displaystyle{ V}\). Stosując teraz lemat Urysohna do zbioru \(\displaystyle{ (\beta\mathbb{N}\setminus V)\cup\{\mathcal{U}\}}\) i jakkolwiek wybranego punktu z \(\displaystyle{ V}\), ale różnego od \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) (tutaj wykorzystujemy to, że \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) nie jest punktem izolowanym), znajdujemy taką niezerową funkcję \(\displaystyle{ g\in C(\beta\mathbb{N})}\), że

\(\displaystyle{ 0\leq g\leq\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ g\vert_{\beta\mathbb{N}\setminus V}=0}\) oraz \(\displaystyle{ g(\mathcal{U})=0}\).

Wówczas \(\displaystyle{ f+g}\) i \(\displaystyle{ f-g}\) leżą w kuli jednostkowej przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), co pokazuje, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest punktem ekstremalnym.

W roli szukanego przenormowania przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) bierzemy więc jej izomorficzną kopię \(\displaystyle{ Y}\).

Podane rozwiązanie działa de facto dla dowolnej przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest zwarta Hausdorffa, o ile jest ona izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami (oczywiście \(\displaystyle{ K}\) musi być wtedy nieskończona, więc i zawierać punkty nieizolowane). Jak jednak wiadomo z wyników otrzymanych przez i , istnieją przestrzenie \(\displaystyle{ C(K)}\), które nie mają tej własności. Narzuca się więc następujący problem:

Czy istnieje taka nieskończona, zwarta przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ K}\), że kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii
przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\) ma punkt ekstremalny?