Matematyka.pl

XXIX konkurs Marszała, etap powiatowy, klasa I, czas 120 min. (rok 2013)

Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego T o boku długości "a" jest środkiem koła K o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie T i długości promienia koła wpisanego w trójkąt T. Oblicz pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T.

Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}-1=3y^{2}+x}\) w zbiorze liczb całkowitych.

Zadanie 3.
Niech liczby x, y należą do przedziału (-1;1). Udowodnij, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ 1 + y^{2} } \le \frac{2}{ 1 + xy }}\)


Podałem treść wszystkich zadań, ale problem mam tylko z zadaniem 2. Czy ktoś wie jak je rozwiązać ?
W zadaniu 1 otrzymałem pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T = \(\displaystyle{ a^{2} \frac{( \pi - 2)}{8}}\)

Tak na poziomie pierwszej klasy (zadanie 2):

No to po prostu inaczej pokazałeś, że . Mówiłem, że można prościej.

Zadanie 3, jeśli się nie machnąłem, zawija się do \(\displaystyle{ xy(x-y)^2 \le (x-y)^2}\), co jest oczywiste. Nie wiem, czy da się ładniej.

Ponewor, rzucanie cięższą teorią jest ogólnie denerwujące, ale tutaj jest to zwyczajnie śmieszne (porównując z trudnością zadania).

Marcinek665, tak właśnie wyszło, ale mała poprawka 3 zadanie, nie 2.

Rzeczywiście, sorry.

Brałem udział w tym konkursie, tylko jestem uczniem klasy 2.Sprawiło mi trudność owe zadanie:
Zadanie 3.
wiedząc że \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\),..., \(\displaystyle{ a_{n}}\) to liczby dodatnie oraz S oznacza ich sumę.Wykaż, że prawdziwa jest nierówność dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\)-- 16 lis 2013, o 17:35 --Bardzo proszę o rozwiązanie lub przynajmniej wskazówki.Z góry dzięki

rozumiem że S mam wyciągnąć przed nawias z lewej strony od \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) ?

Dzięki :p

bakala12, mógłbyś to rozwiązań z Jensena?