XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Za_interesowany
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 12 maja 2012, o 03:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 1 raz

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: Za_interesowany » 11 lis 2013, o 00:54

XXIX konkurs Marszała, etap powiatowy, klasa I, czas 120 min. (rok 2013)

Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego T o boku długości "a" jest środkiem koła K o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie T i długości promienia koła wpisanego w trójkąt T. Oblicz pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T.

Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}-1=3y^{2}+x}\) w zbiorze liczb całkowitych.

Zadanie 3.
Niech liczby x, y należą do przedziału (-1;1). Udowodnij, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ 1 + y^{2} } \le \frac{2}{ 1 + xy }}\)


Podałem treść wszystkich zadań, ale problem mam tylko z zadaniem 2. Czy ktoś wie jak je rozwiązać ?
W zadaniu 1 otrzymałem pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T = \(\displaystyle{ a^{2} \frac{( \pi - 2)}{8}}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: Ponewor » 11 lis 2013, o 01:29

2:    

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: mortan517 » 11 lis 2013, o 12:10

Tak na poziomie pierwszej klasy (zadanie 2):
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: Ponewor » 11 lis 2013, o 12:26

No to po prostu inaczej pokazałeś, że
Ukryta treść:    
. Mówiłem, że można prościej.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: Marcinek665 » 11 lis 2013, o 17:54

Zadanie 3, jeśli się nie machnąłem, zawija się do \(\displaystyle{ xy(x-y)^2 \le (x-y)^2}\), co jest oczywiste. Nie wiem, czy da się ładniej.

Ponewor, rzucanie cięższą teorią jest ogólnie denerwujące, ale tutaj jest to zwyczajnie śmieszne (porównując z trudnością zadania).
Ostatnio zmieniony 11 lis 2013, o 18:09 przez Marcinek665, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: mortan517 » 11 lis 2013, o 18:06

Marcinek665, tak właśnie wyszło, ale mała poprawka 3 zadanie, nie 2.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: Marcinek665 » 11 lis 2013, o 18:09

Rzeczywiście, sorry.

harpun24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 7 cze 2013, o 23:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 2 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: harpun24 » 16 lis 2013, o 17:32

Brałem udział w tym konkursie, tylko jestem uczniem klasy 2.Sprawiło mi trudność owe zadanie:
Zadanie 3.
wiedząc że \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\),..., \(\displaystyle{ a_{n}}\) to liczby dodatnie oraz S oznacza ich sumę.Wykaż, że prawdziwa jest nierówność dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\)-- 16 lis 2013, o 17:35 --Bardzo proszę o rozwiązanie lub przynajmniej wskazówki.Z góry dzięki

diana7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 17 lip 2012, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Pomógł: 13 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: diana7 » 16 lis 2013, o 18:07

3:    

harpun24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 7 cze 2013, o 23:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 2 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: harpun24 » 16 lis 2013, o 19:22

rozumiem że S mam wyciągnąć przed nawias z lewej strony od \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) ?

diana7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 17 lip 2012, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Pomógł: 13 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: diana7 » 16 lis 2013, o 19:59

Ukryta treść:    

harpun24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 7 cze 2013, o 23:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 2 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: harpun24 » 16 lis 2013, o 21:34

Dzięki :p

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 512 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: bakala12 » 17 lis 2013, o 11:12

3. alternatywnie:    

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: mortan517 » 17 lis 2013, o 11:38

bakala12, mógłbyś to rozwiązań z Jensena?

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 512 razy

XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

Post autor: bakala12 » 17 lis 2013, o 12:52

Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ