Matematyka.pl

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem skończonym, to \(\displaystyle{ cardA=2^k}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k\in N\cup{(0)}}\)

To raczej nie chce być prawdą. Co z np. \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)?

Zapewne chodziło nie o ciało, tylko o \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało.

Q.

Każde skończone ciało jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciałem.
Mogę to udowodnić. Także wszystko w tym zadaniu jest ok.

marabuta pisze:Każde skończone ciało jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciałem. Mogę to udowodnić.

Doprawdy? Udowodnij zatem, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

Q.

Przyznam szczerzę, że nie wiem co to znaczy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) . Ma to coś związanego z modulo?
Definicja \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciała:
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Rodzina S podzbiorów zbioru X nazywa się \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, gdy:
1. \(\displaystyle{ \emptyset\in S}\)
2. jeśli A\(\displaystyle{ \in S}\), to \(\displaystyle{ X\A \in S}\)
3. jeśli \(\displaystyle{ A_n\in S}\) dla \(\displaystyle{ n\in N}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n\in S}\).
Definicja ciała:
Założenia: tak jak wyżej
1. tak jak wyżej
2. tak jak wyżej
3. jeśli \(\displaystyle{ A, B \in S}\), to \(\displaystyle{ A\cup B\in S}\)

zatem wystarczy tylko udowodnić 3:
Niech S będzie ciałem (skończonym) i niech \(\displaystyle{ A_n\in S}\) dla \(\displaystyle{ n\in N}\). Z tego, że S jest skończone mamy, że
\(\displaystyle{ card\{A_n : n\in N\} \le card\{A: A\in S\}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ k=card\{A_n : n\in N\}}\).
Następnie weźmy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_i)_{i=1,..,k}}\) taki, że \(\displaystyle{ A_i \neq A_j}\) przy \(\displaystyle{ i \neq j}\). Wówczas \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{k}A_i= \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n}\), a korzystając z definicji ciała mamy \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{k}A_i \in S.}\). Zatem S jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

marabuta pisze:Przyznam szczerzę, że nie wiem co to znaczy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) . Ma to coś związanego z modulo?
Definicja \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciała:
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Rodzina S podzbiorów zbioru X nazywa się \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, gdy:
1. \(\displaystyle{ \emptyset\in S}\)
2. jeśli A\(\displaystyle{ \in S}\), to \(\displaystyle{ X\A \in S}\)
3. jeśli \(\displaystyle{ A_n\in S}\) dla \(\displaystyle{ n\in N}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n\in S}\).
Definicja ciała:
Założenia: tak jak wyżej
1. tak jak wyżej
2. tak jak wyżej
3. jeśli \(\displaystyle{ A, B \in S}\), to \(\displaystyle{ A\cup B\in S}\)

zatem wystarczy tylko udowodnić 3:
Niech S będzie ciałem (skończonym) i niech \(\displaystyle{ A_n\in S}\) dla \(\displaystyle{ n\in N}\). Z tego, że S jest skończone mamy, że
\(\displaystyle{ card\{A_n : n\in N\} \le card\{A: A\in S\}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ k=card\{A_n : n\in N\}}\).
Następnie weźmy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_i)_{i=1,..,k}}\) taki, że \(\displaystyle{ A_i \neq A_j}\) przy \(\displaystyle{ i \neq j}\). Wówczas \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{k}A_i= \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_n}\), a korzystając z definicji ciała mamy \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{k}A_i \in S.}\). Zatem S jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

W taki sposób, to my o zupełnie różnych pojęciach ciała mówimy... I teraz chyba wiem skąd pomysł, aby to w rachunek prawdopodobieństwa wrzucać...

To teraz da się to udowodnić?
Bo ja nie mam pomysłów (znaczy miałam, ale wszystkie złe )

Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie dowolnym ciałem (algebrą Boole'a). Wówczas struktura \(\displaystyle{ (B, +, \cdot)}\), gdzie

\(\displaystyle{ x+y = (x \cap (-y))\cup( y \cap (-x))}\)

oraz \(\displaystyle{ 1\cdot x = 1, 0\cdot x = 0}\) (\(\displaystyle{ x,y\in B}\)) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\).

Używając algebry liniowej: gdy \(\displaystyle{ B}\) jest skończone, ta przestrzeń liniowa jest skończenie wymiarowa, a więc jest izomorficzna jako przestrzeń liniowa z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2^n}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) to wymiar \(\displaystyle{ B}\). Mamy zatem

\(\displaystyle{ |B|=|\mathbb{Z}_2^n|=2^n}\).

Dokładniej, \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą atomów w \(\displaystyle{ B}\).

Sugeruje to drugi dowód: pokaż, że w \(\displaystyle{ B}\) dla każdego niezerowego \(\displaystyle{ x}\) istnieje taki atom \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ y\leqslant x}\) (istotnie potrzebujesz tu skończoności \(\displaystyle{ B}\); element \(\displaystyle{ y}\) nazywamy atomem gdy \(\displaystyle{ y\neq 0}\) i dla każdego \(\displaystyle{ z\leqslant y}\) mamy \(\displaystyle{ z\in \{0,y\}}\)). Ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest skończone, tych atomów masz skończenie wiele, powiedzmy \(\displaystyle{ n}\). Następnie pokaż, że każdy element jest kombinacją liniową atomów (ze współczynnikami z \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), skąd elementów w \(\displaystyle{ B}\) jest tyle, ile funkcji ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego (atomów) w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\), czyli \(\displaystyle{ 2^n}\).

Qń pisze:

marabuta pisze:Każde skończone ciało jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciałem. Mogę to udowodnić.

Doprawdy? Udowodnij zatem, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

Po co od razu taka złośliwość. Doszło tu do zwykłej pomyłki. Pytający nie ma obowiązku wiedzieć, że coś nazywa się podobnie w innej dziedzinie matematyki. Co więcej temat był w całkiem dobrym dziale (Rachunek prawdopodobieństwa), więc pytającemu niepotrzebnie się oberwało.