Matematyka.pl

Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ext\left( A\right)}\), jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{\left( x _{n} \right) \in l ^{\infty}: \forall n\in N \quad \left| x _{n} \right| \le 1\right\}}\) i \(\displaystyle{ X=l ^{\infty}}\).

Na czuja strzelam: ciągi \(\displaystyle{ e_i}\) mające na \(\displaystyle{ i}\)-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Czyli \(\displaystyle{ e_i(j)=\delta_{ij}}\). Ale też i przeciwne. Więc ogólnie \(\displaystyle{ \pm e_i}\).

Sprawdź tę hipotezę.

W przypadku rzeczywistym, punkty ekstremalne to wszystkie ciągi przyjmujące wartości wyłącznie 1 i -1.

Spektralny, masz rację.

Dygresja: kula \(\displaystyle{ c_0}\) (podobnie jak kula \(\displaystyle{ L_1[0,1]}\)) nie ma punktów ekstremalnych dlatego nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną (por. tw. Kreina-Milmana). Można pokazać więcej: \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest izomorficzna z żadną przestrzenią sprzężoną, ale to inna para kaloszy.

Spektralny pisze:Można pokazać więcej: \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest izomorficzna z żadną przestrzenią sprzężoną, ale to inna para kaloszy.

Podasz jakieś źródło/szczegóły?

Jest wiele sposobów by to pokazać. Mój ulubiony to przez mówiące, że \(\displaystyle{ c_0}\) nie jest komplementarne w \(\displaystyle{ \ell_\infty = c_0^{**}}\) (mój ulubiony dowód znów tego twierdzenia leci przez teorio-miarowy lemat Phillipsa czyli de facto przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_\infty}\)). Wiedząc to wystarczy zastosować nietrudną, ale pomysłową obserwację Lindenstraussa mówiącą iż przestrzeń Banacha jest komplementarna w pewnym dualu wtedy i tylko wtedy, gdy jest komplementarna w swoim bidaulu ([url=http://arxiv.org/pdf/1208.4762v3.pdf]zobacz diagram na stronie 22 tutaj[/url]).

Ostatecznie, niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przenormowaniem \(\displaystyle{ c_0}\). Gdyby \(\displaystyle{ X}\) było izomorficzne z jakimś dualem \(\displaystyle{ Y^*}\) to byłoby komplementarne w \(\displaystyle{ X^{**}}\), a to własność izomorficzna. Stąd \(\displaystyle{ c_0}\) byłoby komplementarne w \(\displaystyle{ \ell_\infty}\), a nie jest.

Istnieje nawet mocniejsze twierdzenie Bessagi-Pełczyńskiego: jeżeli \(\displaystyle{ c_0}\) jest izomorficzne z podprzestrzenią \(\displaystyle{ Y^*}\), to \(\displaystyle{ \ell_\infty}\) zanurza się w \(\displaystyle{ Y^*}\).

[url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_c0]Szkic dowodu tutaj[/url].

W takim razie proponuję zadanie bonusowe: Czy da się równoważnie przenormować \(\displaystyle{ X}\) w ten sposób, by kula jednostkowa nie miała żadnych punktów ekstremalnych, przy czym:
(a) \(\displaystyle{ X=\ell_1}\),
(b) \(\displaystyle{ X=\ell_\infty}\)?

Popsuję zabawę z przypadkiem (a): przestrzeń \(\displaystyle{ \ell_1}\) ma własność Radona-Nikodyma, która to jest własnością izomorficzną (tj. każde przenormowanie \(\displaystyle{ \ell_1}\) również ma tę własność). Z twierdzenia Davisa-Phelpsa wynika, że kula każdej przestrzeni z własnością Radona-Nikodyma ma punkty ekstremalne (zob. J. Diestel, J. J. Uhl, Vector measures. Math. Surveys, no. 15, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1977, s. 205).

Tak jest.
Kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii \(\displaystyle{ \ell_1}\) jest domknięciem otoczki wypukłej punktów silnie eksponowanych (strongly exposed points), które w szczególności są punktami ekstremalnymi. Być może ciekawe byłoby jednak pytanie o "elementarny" dowód faktu, że dowolne przenormowanie \(\displaystyle{ \ell_1}\) dopuszcza punkty ekstremalne (nie znam takiego).-- 13 lis 2013, o 14:48 --Podaję rozwiązanie do (b): Podane rozwiązanie działa de facto dla dowolnej przestrzeni \(\displaystyle{ C(K)}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest zwarta Hausdorffa, o ile jest ona izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami (oczywiście \(\displaystyle{ K}\) musi być wtedy nieskończona, więc i zawierać punkty nieizolowane). Jak jednak wiadomo z wyników otrzymanych przez i , istnieją przestrzenie \(\displaystyle{ C(K)}\), które nie mają tej własności. Narzuca się więc następujący problem: