Matematyka.pl

Cześć
Mamy zadanie:
Zbadaj jakie zależności zachodzą pomiędzy zbiorami:
a) \(\displaystyle{ \bigcup x \bigcap_{i \in I } A_i}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{i \in I } \bigcup A_i}\)
b) \(\displaystyle{ \bigcap\bigcup_{i \in I } A_i}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I } \bigcap A_i}\)
I przede wszystkim mój problem polega na zabraniu się do tej sumy iloczynu. Znam definicje, ale jakoś nie wiem jak to rozbierać .
Pozdrawiam!

tukanik pisze:a) \(\displaystyle{ \bigcup x \bigcap_{i \in I } A_i}\)

Co to za \(\displaystyle{ x}\) ?

JK

przepraszam, tego \(\displaystyle{ x}\) ma oczywiście nie być

tukanik pisze:I przede wszystkim mój problem polega na zabraniu się do tej sumy iloczynu. Znam definicje, ale jakoś nie wiem jak to rozbierać .

A może tak normalnie, z definicji? Wprowadź sobie pomocniczą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcap_{i\in I}A_i}\) (myśląc, że każde \(\displaystyle{ A_i}\) jest rodziną zbiorów) i zacznij od rozpisania z definicji \(\displaystyle{ x\in\bigcap\mathcal{A}}\).

Możesz też w ogóle nie rozpisywać, tylko zrozumieć charakter bytów, występujących w tych napisach i wtedy odpowiedź masz od razu (choć bez pisemnego uzasadnienia...).

JK

te indeksy \(\displaystyle{ i}\) odnoszą się do sumy i iloczynu, czy tylko do tego, pod którym są napisane. Bo nie wiem w takim razie jak interpretować drugie wyrażenie w b)

Staram się to rozpisywać jakoś z tej definicji, ale nie mogę wyciągnąć żadnych wniosków.

tukanik pisze:te indeksy \(\displaystyle{ i}\) odnoszą się do sumy i iloczynu, czy tylko do tego, pod którym są napisane.

Odnoszą się tylko do tego, pod którym są napisane.

tukanik pisze:Bo nie wiem w takim razie jak interpretować drugie wyrażenie w b)

Normalnie. \(\displaystyle{ A_i}\) jest rodziną zbiorów i bierzesz jej przekrój. Robisz tak dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\) i sumujesz wyniki.

Potrenuj na takich przykładach: \(\displaystyle{ A_i=\{[i,n]:n\in\NN\land n\ge i\}}\) dla \(\displaystyle{ I=\NN}\) i \(\displaystyle{ I=\RR}\).

JK

A może tak normalnie, z definicji? Wprowadź sobie pomocniczą rodzinę zbiorów\(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcap_{i\in I}A_i}\) (myśląc, że każde \(\displaystyle{ A_i}\) jest rodziną zbiorów) i zacznij od rozpisania z definicji \(\displaystyle{ x\in\bigcap\mathcal{A}}\).

Rozumiem, że na końcu chodzi Ci o sumę, tzn:
\(\displaystyle{ x\in\bigcup\mathcal{A}}\)

tukanik pisze:Rozumiem, że na końcu chodzi Ci o sumę, tzn:
\(\displaystyle{ x\in\bigcup\mathcal{A}}\)

Tak (literówka w kodzie...).

JK

Ok, no to popróbowałem tak jak mówiłeś i niestety nie wiem co dalej:
Niech:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}= \bigcap_{i\in I}A_i}\)
\(\displaystyle{ x\in\bigcup\mathcal{A}}\)
Z definicji oznacza to, że \(\displaystyle{ \exists y \in \mathcal{A} \wedge x\in y}\)
\(\displaystyle{ y \in \bigcap_{i \in I } A_i \wedge x \in y}\)
Z definicji oznacza to, że
\(\displaystyle{ \forall_{i \in I }y\in A_i}\)
a z faktu, że \(\displaystyle{ x}\) należy do y wynika, że \(\displaystyle{ x \in A_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ A_i}\)
I tak naprawdę ja mam ten problem, że nie wiem czego się czepić przy szukaniu zależności.
Ok, widzę, że jakiś \(\displaystyle{ x}\) należy sobie do \(\displaystyle{ A_i}\). Ale jest to sobie tylko jakiś niepozorny \(\displaystyle{ x}\), a jak go można odnieść do całości nie mam pojęcia

tukanik pisze:I tak naprawdę ja mam ten problem, że nie wiem czego się czepić przy szukaniu zależności.

Tak naprawdę masz problem, że idziesz w znaczki. Trzeba najpierw postarać się ogarnąć, co te znaczki mogą znaczyć.

JK

PS. Tak przy okazji, zapis

tukanik pisze:\(\displaystyle{ \exists y \in \mathcal{A} \wedge x\in y}\)

jest składniowo niepoprawny.

JK

jest składniowo niepoprawny.

tak, brakuje nawiasów.

Tak naprawdę masz problem, że idziesz w znaczki. Trzeba najpierw postarać się ogarnąć, co te znaczki mogą znaczyć.

To proszę, pomóż

tukanik pisze:tak, brakuje nawiasów.

I przy takim zapisie nie powinno być koniunkcji.

tukanik pisze:To proszę, pomóż

Zrobiłeś przykład?

Jan Kraszewski pisze:Potrenuj na takich przykładach: \(\displaystyle{ A_i=\{[i,n]:n\in\NN\land n\ge i\}}\) dla \(\displaystyle{ I=\NN}\) i \(\displaystyle{ I=\RR}\).

JK

no to w tym przykładzie te wyrażenia dla \(\displaystyle{ I = \mathbb{N} \subseteq I = \mathbb{R}}\)
Wynika to z tego, że \(\displaystyle{ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{R}}\)

tukanik pisze:no to w tym przykładzie te wyrażenia dla \(\displaystyle{ I = \mathbb{N} \subseteq I = \mathbb{R}}\)

To były dwa osobne przykłady... Jeden dla \(\displaystyle{ I=\NN}\), drugi dla \(\displaystyle{ I=\RR}\). Wygląda na to, że nic nie zrozumiałeś, przeczytaj jeszcze raz - wskazałem Ci rodziny rodzin zbiorów, dla których masz wykonać rachunki.

JK

ok, to powiedz mi jaka jest treść zadania, bo nie rozumiem co znaczy, potrenuj na przykładach.