Matematyka.pl

Witam, mam problem z poniższym zadaniem:
Udowodnij, że suma

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} n^{4} + \frac{3}{2} n^{3} + \frac{11}{4} n^{2} + \frac{3}{2} n}\)

jest liczbą naturalną dla każdej liczby naturalnej dodatniej n.

Próbowałem wyłączyć przed nawias \(\displaystyle{ \frac{1}{4} n}\) i zastosować wzór skróconego mnożenia dla trzeciej potęgi, ale nie daje mi to żadnego wyniku.

Z góry dziękuję za udzieloną pomoc!

Najarany pisze:Próbowałem wyłączyć przed nawias \(\displaystyle{ \frac{1}{4} n}\) i zastosować wzór skróconego mnożenia

Spróbuj raczej rozłożyć na czynniki to co zostanie w nawiasie - są na to przecież inne metody niż tylko wzory skróconego mnożenia.

Q.

Próbowałem kilku sposobów rozłożenia na czynniki i nie uzyskuję efektu. Wydaje mi się, że w wyniku powinny być 4 kolejne liczby naturalne, tak by ta czwórka w mianowniku się skróciła.

Mogę prosić o wskazówki?

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}n(n^{3}+6n^{2}+11n+6)}\)

Skorzystaj teraz z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu - jeśli wielomian posiada pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. Dzięki temu możesz np. wyliczyć jeden pierwiastek, następnie dzielimy ten wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\) i otrzymujemy wielomian drugiego stopnia, którego pierwiastki możemy wyliczyć ze wzoru.

Kacper - korzystając z tego co napisał AloneAngel też mi tak wyszło, ale jeszcze z jednym n przed liczbą po prawej stronie równania. Która z wersji jest poprawna?

No w sumie całość powinna wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} n^{4} + \frac{3}{2} n^{3} + \frac{11}{4} n^{2} + \frac{3}{2}n = \frac{1}{4}n(n^{3}+6n^{2}+11n+6) =\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}\)

A więc widzimy, że jest to iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych. A skoro tak, to wśród tych czterech liczb będzie z pewnością jedna, która będzie podzielna przez cztery, więc całe to wyrażenie także będzie podzielne przez cztery. Dzięki temu \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) tego wyrażenie będzie liczbą naturalną.