Matematyka.pl

Twierdzenie Rolle'a

Jeżeli funkcja $\displaystyle{ f}$ jest ciągła na przedziale $\displaystyle{ \langle a,b\rangle}$ oraz istnieje skończona pochodna $\displaystyle{ f'}$ w każdym punkcie przedziału $\displaystyle{ (a,b)}$, a ponadto $\displaystyle{ f(a)=f(b)}$, to istnieje taki punkt $\displaystyle{ c\in(a,b)}$, że:
$$f'(c)=0.$$

Dowód:

Jeżeli $\displaystyle{ f(x)=\mbox{const}}$ dla $\displaystyle{ x\in\langle a,b\rangle}$, to $\displaystyle{ f'(x)=0}$ dla każdego $\displaystyle{ x\in(a,b).}$

Jeżeli $\displaystyle{ f}$ nie jest stała na $\displaystyle{ \langle a,b\rangle}$, to jako funkcja ciągła na $\displaystyle{ \langle a,b\rangle}$, osiąga wartość największą i najmniejszą. Ponieważ $\displaystyle{ f(a)=f(b)}$, więc istnieje taki punkt $\displaystyle{ c\in(a,b)}$, że jest w nim osiągana jedna z tych wartości. Niech np. w punkcie $\displaystyle{ c}$ funkcja $\displaystyle{ f}$ osiąga wartość największą. Zatem dla każdego $\displaystyle{ h}$ mamy

$$f(c+h)\leqslant f(c).$$

Wykażemy, że $\displaystyle{ f'(c)=0}$. Ponieważ dla $\displaystyle{ h>0}$

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leqslant 0$$

oraz dla $\displaystyle{ h<0}$
$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geqslant 0,$$

więc
$$\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leqslant 0$$

oraz
$$\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geqslant 0.$$

Stąd $\displaystyle{ 0\leqslant f'(c)\leqslant 0}$, a więc $\displaystyle{ f'(c)=0}$.

$\displaystyle{ \blacksquare}$