Matematyka.pl

Mam trzy pytania: 1. Czy to nie dziś był finał? 2. Dlaczego więc nie pojawiły się tu jeszcze zadania? 3. Czy jeśli to możliwe, mógłby się ktoś podzielić treścią owych zadań?

Zadanka już lecą. Nikt nie wrzucił, bo jest ponoć bardzo słabo z netem. Takie dostałem smsem:

Zadanie 1.

Rozwiązać w całkowitych równanie \(\displaystyle{ x^4 + y = x^3 + y^2}\).

Zadanie 2.

Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ 6a|3+a+b^2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ a<0}\).

Zadanie 3.

W czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) da się wpisać okrąg. Odcinki \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) są średnicami odpowiednio okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2,o_3,o_4}\). Udowodnić, że istnieje okrąg styczny do każdego z okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2,o_3,o_4}\).

[hide="ARCYPrzedziwne rozwiązanie zadania 2., trąci moim haniebnym błędem]Otóż udowodnię, że takie liczby nie istnieją. Załóżmy, że istnieją takie, że taka podzielność zachodzi, a zatem istnieje takie całkowite \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ a+b^{2}+3=6ka \Leftrightarrow b^{2}+3=\left( 6k-1\right)a}\)
Udowodnimy, że \(\displaystyle{ 6k-1}\), ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6l-1}\). Załóżmy, że nie ma. Ponieważ jest to liczba nieparzysta, niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to ma dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 6l+1}\), a jak będziemy mnożyć tą jedynkę w kongruencji to nijak nie wyjdzie \(\displaystyle{ 6k-1}\). Jest więc liczba pierwsza \(\displaystyle{ p=6l-1}\), która dzieli \(\displaystyle{ 6k-1}\), więc dzieli i \(\displaystyle{ b^{2}+3}\). Zachodzi więc \(\displaystyle{ b^{2} \equiv -3 \pmod{p}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ p \equiv 2 \pmod{3}}\), to sprzeczność na mocy lematu. Skoro więc poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest prawdziwa.[/hide]

Hm, nie rozumiem, czemu ma być niby takie ARCYMADAFAKAPRZEDZIWNE, przecież jest absolutnie normalne. Zamieściłem identyczne w drugim temacie, bo nie spodziewałem się, że alternatywne rozwiązanie może być w temacie o II etapie .

o widzę, że byłem blisko, ale jakąś smętną głupotkę popełniłem

Dokładnie - pierwsze zadanie z OMa o jakim mi wiadomo, że jakaś hardsza teoria tak bardzo różnicuje wyniki (nikt nie zrobił 2. inaczej, niż to rozwiązanie podane przez Ponewora, wzorcówka jest oczywiście "normalna"). Ale teraz wiem, że z podobną teorią z finału 61OM było podobnie...

Trzecie z parę osób ma, być może tylko jedna. Dość nietypowa geometria.

Chyba tylko jeden komplet.

Co to ma być, to zadanie drugie: łatwe zadanie na zastosowanie teorii, czyli coś co totalnie rozmija się z ideą OM.

Wzorcowe do drugiego faktycznie jest ładne (ale trudne do wpadnięcia), więc pan Kuczma mówił, że zadanie jest jak najbardziej zgodne z ideą. Ale problem leży głównie w tym, że znajomość Leżandra różnicuje wyniki.

No świetnie, nie da się ukryć, że prawo wzajemności reszt kwadratowych jest ładne i można je elementarnie ładnie dowieść, ale no plis . Nawet jeżeli można jakoś bez niego dowieść ten główny lemat, no to co z tego ; d?
A co do 61-3-5, to tam też istniało rozw. z wykorzystaniem tego samego lematu, ale tutaj to było jak na dłoni, a tam dojście do tego wcale nie było proste, a wzorcówka z Fermata wcale nie była "z kapelusza".

Nawiasem mówiąc pierwsze zadanie też nietrudne, tylko wzorcówkowe przekształcenia "z nikąd" należy zastąpić obliczeniem delty i tyle.

No pierwsze wyjątkowo na zachętę. Z drugim moje zmagania były trochę nieregulaminowe, bo zanim poznałem treść, już słyszałem plotki, że idzie z prawa wzajemności reszt kwadratowych, więc kminienia za bardzo nie było. Nie wiem, czy wpadłbym na to w trakcie zawodów. No a trzecie to typowe zadanie na rozkminę (sprzeczałbym się, czy robialne przy ograniczeniu się do 5h), którego oczywiście nie rozkminiłem

Mimo wszystko czytając wzorcówki, ma się wrażenie "jakie to proste i piękne", więc finał chyba na odpowiednim poziomie. I warto trochę obronić drugie, bo jednak finał jest finałem i jakąś szerszą wiedzę z matmy już wypada mieć.

Z ostatnim się zgadzam. Jak ktoś chce być laureatem, to wypada takie rzeczy znać.
A odnośnie ostatniego: dowód, że tak skonstruowany okrąg spełnia warunki zadania to trywiał, ale wymyślić tą konstrukcję...-- 18 kwi 2013, o 09:25 --Oczywiście nie muszę chyba pisać, że będę rad jak wstawicie zadania z dnia drugiego, gdy tylko będzie się dało.

Trzecie jest piękne <3.
Ciekawe, co przyniesie dzisiejszy dzień : )

Jak mi Vax wyśle, to wstawię xD