Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ G}\) bedzie grupa dowiesc ze jesli dla kazdego \(\displaystyle{ x \in G}\) za chodzi\(\displaystyle{ x^2 = 1}\) to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

Mamy wiec, ze \(\displaystyle{ G}\) jest grupa czyli:
- dzialanie jest łaczne i wewnetrzne
- posiada element neutralny
- posiada element symetryczny

oraz,ze: \(\displaystyle{ \forall x\in G: x^2=1}\)

Czyli trzeba wykazac, ze dzialanie w tej grupie jest przemienne.
Dzialanie jest przemienne jesli:\(\displaystyle{ \forall x,y \in G: xy=yx}\)

No i w sumie nie wiem za bardzo jak to udowodnić.

Wydaje mi sie,ze to powinno wygladac tak:
dzialanie w tej grupie to mnozenie
\(\displaystyle{ x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ G}\) ma dwa elementy
\(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)=(-1)*1}\)

Ale pewnie,zle Prosze o sprawdzenie i o pomoc jesli jest zle

Podpinając się pod temat.
Próbuję rozwiązać podobne zadania z tą różnicą że zamiast \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ e}\).
Przechodząc do mojego pytania, czy można to udowodnić w taki sposób?
Skoro \(\displaystyle{ G}\) jest grupą to dla dowolnego jej elementu istnieje element odwrotny czyli korzystając z definicji
\(\displaystyle{ ab=ba=e}\).
Zatem biorąc dowolny element \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ x^{2}=e}\) oraz element odwrotny do \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) mamy
\(\displaystyle{ y*x^{2}=y*x*x=(y*x)*x=x*y*x=x*(y*x)=x*x*y= x^{2}*y}\)
Czy jest to poprawny sposób?

Gogeta pisze: Wydaje mi sie,ze to powinno wygladac tak:
dzialanie w tej grupie to mnozenie
\(\displaystyle{ x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ G}\) ma dwa elementy
\(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)=(-1)*1}\)

Ale pewnie,zle Prosze o sprawdzenie i o pomoc jesli jest zle

Nie można tego rozpatrywać w ten sposób. \(\displaystyle{ 1}\) jest elementem neutralnym w grupie, a nie wartością (liczbą).

Pomysł na rozwiązanie tego jest już podany. Dla formalności można pokazać to jeszcze w drugim przypadku.

Arciv, rozumiem że na twoje pytanie też odpowiedziałem. \(\displaystyle{ e=1}\) to tylko kwestia oznaczeń.

Popieram poprzednika. Z \(\displaystyle{ x^{2}=1}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
Co prawda wielomian drugiego stopnia ma co najwyżej 2 pierwiastki, ale w ciele, a tu mamy tylko grupę.-- 9 kwi 2013, o 17:30 --A tak w ogóle to element \(\displaystyle{ -1}\) jest niezdefiniowany bo mamy tylko działanie mnożenia.

@Vardamir, rozumiem że element neutralny w zadaniu autora to \(\displaystyle{ 1}\). Chciałem tylko napisać moim zadaniu jest oznaczony standardowo jako \(\displaystyle{ e}\) a to i tak nie ma znaczenia bo el. neutralny to el. neutralny.
Bardziej chodziło mi w moim poście o podpowiedź czy mogę iść takim tokiem rozumowania, tzn. wnioskować z własności grupy jak napisałem, czy jest on błędny i jedynym rozwiązaniem jest sposób pokazany przez @brzoskwinka1.

Jeśli dobrze zrozumiałem to co napisałeś to nie ma tam błędu, ale też nie wykazałeś tej przemienności.

Arciv, wykorzystałeś to, że bierzesz element odwrotny. Natomiast, aby pokazać abelowość należy to udowodnić dla dwóch dowolnych elementów.

Zatem twoje rozumowanie nie udowadnia abelowości.

No tak, heh dzięki. Teraz już rozumiem.
Nie brałem dwóch a jeden dowolny element.