wykazac ze jest abelowa

[Gogeta]

Niech \(\displaystyle{ G}\) bedzie grupa dowiesc ze jesli dla kazdego \(\displaystyle{ x \in G}\) za chodzi\(\displaystyle{ x^2 = 1}\) to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

Mamy wiec, ze \(\displaystyle{ G}\) jest grupa czyli:
- dzialanie jest łaczne i wewnetrzne
- posiada element neutralny
- posiada element symetryczny

oraz,ze: \(\displaystyle{ \forall x\in G: x^2=1}\)

Czyli trzeba wykazac, ze dzialanie w tej grupie jest przemienne.
Dzialanie jest przemienne jesli:\(\displaystyle{ \forall x,y \in G: xy=yx}\)

No i w sumie nie wiem za bardzo jak to udowodnić.

Wydaje mi sie,ze to powinno wygladac tak:
dzialanie w tej grupie to mnozenie
\(\displaystyle{ x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ G}\) ma dwa elementy
\(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)=(-1)*1}\)

Ale pewnie,zle Prosze o sprawdzenie i o pomoc jesli jest zle

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ (xy)^2 =1 \Rightarrow xyxy=1 \Rightarrow xyxy^2 =y \Rightarrow x^2 yx y^2 =xy \Rightarrow yx =xy .}\)

[Arciv]

Podpinając się pod temat.
Próbuję rozwiązać podobne zadania z tą różnicą że zamiast \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ e}\).
Przechodząc do mojego pytania, czy można to udowodnić w taki sposób?
Skoro \(\displaystyle{ G}\) jest grupą to dla dowolnego jej elementu istnieje element odwrotny czyli korzystając z definicji
\(\displaystyle{ ab=ba=e}\).
Zatem biorąc dowolny element \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ x^{2}=e}\) oraz element odwrotny do \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) mamy
\(\displaystyle{ y*x^{2}=y*x*x=(y*x)*x=x*y*x=x*(y*x)=x*x*y= x^{2}*y}\)
Czy jest to poprawny sposób?

[Vardamir]

Wydaje mi sie,ze to powinno wygladac tak:
dzialanie w tej grupie to mnozenie
\(\displaystyle{ x^2=1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ G}\) ma dwa elementy
\(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)=(-1)*1}\)

Ale pewnie,zle Prosze o sprawdzenie i o pomoc jesli jest zle

Nie można tego rozpatrywać w ten sposób. \(\displaystyle{ 1}\) jest elementem neutralnym w grupie, a nie wartością (liczbą).

Pomysł na rozwiązanie tego jest już podany. Dla formalności można pokazać to jeszcze w drugim przypadku.

Arciv, rozumiem że na twoje pytanie też odpowiedziałem. \(\displaystyle{ e=1}\) to tylko kwestia oznaczeń.

[matmatmm]

Popieram poprzednika. Z \(\displaystyle{ x^{2}=1}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\)
Co prawda wielomian drugiego stopnia ma co najwyżej 2 pierwiastki, ale w ciele, a tu mamy tylko grupę.-- 9 kwi 2013, o 17:30 --A tak w ogóle to element \(\displaystyle{ -1}\) jest niezdefiniowany bo mamy tylko działanie mnożenia.

[Arciv]

@Vardamir, rozumiem że element neutralny w zadaniu autora to \(\displaystyle{ 1}\). Chciałem tylko napisać moim zadaniu jest oznaczony standardowo jako \(\displaystyle{ e}\) a to i tak nie ma znaczenia bo el. neutralny to el. neutralny.
Bardziej chodziło mi w moim poście o podpowiedź czy mogę iść takim tokiem rozumowania, tzn. wnioskować z własności grupy jak napisałem, czy jest on błędny i jedynym rozwiązaniem jest sposób pokazany przez @brzoskwinka1.

[matmatmm]

Jeśli dobrze zrozumiałem to co napisałeś to nie ma tam błędu, ale też nie wykazałeś tej przemienności.

[Vardamir]

Arciv, wykorzystałeś to, że bierzesz element odwrotny. Natomiast, aby pokazać abelowość należy to udowodnić dla dwóch dowolnych elementów.

Zatem twoje rozumowanie nie udowadnia abelowości.

[Arciv]

No tak, heh dzięki. Teraz już rozumiem.
Nie brałem dwóch a jeden dowolny element.