[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania
: 12 mar 2013, o 17:07
autor: Milczek
Wymyśliłem oba równania i póki co nie miałem czasu posiedzieć nad nimi(ale chwilowo są poza moimi siłami), w ogóle zastanawiam się czy da radę ugryźć je jakoś elementarnie .
1.Dla \(\displaystyle{ a,b,c \in N}\)
Znajdź wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ a^2 + b^3 = c^4}\)
[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania
: 20 mar 2013, o 22:14
autor: mol_ksiazkowy
w ogóle zastanawiam się czy da radę ugryźć je jakoś elementarnie .
Zadanie jest w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiazanych ....
Ukryta treść:
Równanie \(\displaystyle{ x^3 + y^4 = z^5}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w \(\displaystyle{ Z}\), niektóre z nich beda takie: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2^k\\y=2^l\\z=2^m\end{cases}}\)
przy czym : \(\displaystyle{ \begin{cases} 3k=4l\\3k+1=5m\end{cases}}\)
Takich trójek \(\displaystyle{ (k,l,m)}\) jest nieskończenie wiele
A też gdy \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ b=x}\)) jest: \(\displaystyle{ (2b)^3 = (-b)^3 + a^2}\) oraz \(\displaystyle{ a \in Z}\)
[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania
: 20 mar 2013, o 22:45
autor: Ponewor
Milczek pisze:Znajdź wszystkie rozwiązania
[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania
: 24 mar 2013, o 17:45
autor: mol_ksiazkowy
ad a
Ukryta treść:
Znajdź wszystkie rozwiązania
ale czy takie istnieja, tj mozna je wyrazic jedyną formułą ?....
(*)\(\displaystyle{ x^2+ y^3 =z^4}\) i
(**)\(\displaystyle{ y^2+y =2x^2}\)
(**) ma nieskończenie wiele rozwiazań, tj. liczb trójkątnych bedacych
kwadratami jest nieskończenie wiele. gdyż \(\displaystyle{ x =y =1}\) sa takie oraz gdy
(*)\(\displaystyle{ x, y}\) spełnia (**), to \(\displaystyle{ y^{\prime}= 3y + 4x+ 1}\) i \(\displaystyle{ x^{\prime}= 2y+ 3x+1}\)
również.
Z tożsamości \(\displaystyle{ (\frac{y(y-1)}{2})^2 + y^3 =(\frac{y(y+1)}{2})^2}\) wynika (*) gdy \(\displaystyle{ z = \frac{y(y+1)}{2}}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełnia (*), a wiec np. \(\displaystyle{ y= 8 \ z=6^2}\), ale sa tez inne rozwiazania (*), niektóre z nich, gdy np. \(\displaystyle{ y=2z}\) albo np \(\displaystyle{ 3^2 + 2^3 \cdot 9 = 9^2}\) wymnożyć przez \(\displaystyle{ 9^2}\) itd
[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwiązania
: 8 cze 2013, o 20:04
autor: Jakub Gurak
\(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 = d^5}\)
Podam też tylko niektóre rozwiązania.
Szukaną sytuacją będzie gdy: \(\displaystyle{ a^2=b^3=c^4=3^{x}\hbox{ gdzie }x\in\mathbb{N}}\)
Zatem \(\displaystyle{ a=3 ^{ \frac{x}{2} }}\)
\(\displaystyle{ b=3 ^{ \frac{x}{3} }}\)
\(\displaystyle{ c=3^{ \frac{x}{4} }}\)
Niech \(\displaystyle{ x=12k \hbox{ gdzie } k\in\mathbb{N}}\)
Musi być \(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 = 3^{x}+3^{x}+3^{x}=3^{x}\cdot 3=3^{x+1}=d^5}\)
Zatem niech \(\displaystyle{ d=3^{ \frac{x+1}{5} }}\)
Musi być \(\displaystyle{ 5\mid \left( x+1=12k+1 \right)}\)
Zatem musi być, co łatwo sprawdzić, rozwazając reszty z dzielenia \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) \(\displaystyle{ k=5l+2\hbox{ gdzie } l\in\mathbb{N} _{0}}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=12k=12 \cdot \left( 5l+2\right)=60l+24}\)
Sprawdźmy: \(\displaystyle{ a^2 + b^3 + c^4 =\left( 3 ^{30l+12}\right) ^{2}+\left( 3 ^{20l+8}\right) ^{3}+\left( 3 ^{15l+6}\right) ^{4}=3^{60l+24}+3^{60l+24}+3^{60l+24}=3^{60l+25}=\left( 3^{12l+5}\right) ^{5}=d^{5}}\)
Zatem takie liczby są rozwiązaniami.
[Równania][Teoria liczb] Znajdź wszystkie rozwązania
: 17 lip 2015, o 23:15
autor: marcin7Cd
Nie wydaje mi się, że istnieje elementarne rozwiązanie. Znalazłem pracę(po angielsku) rozważającą takie typu równania na stronie 29 pojawia się równanie a). co do równania b) to wydaje mi się, że jeszcze go nikt nie rozwiązał. mało widziałem prac dotyczące równań tego typu z czterema zmiennymi