Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ H=R^{2}}\) z normą
\(\displaystyle{ \left| \left| \left( x,y\right) \right| \right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}-xy}}\).
Wyznaczyć iloczyn skalarny, od którego ona pochodzi, dowodząc w ten sposób, że H z tą normą jest przestrzenią Hilberta.

Proszę o pomoc, mogą być nawet jakieś wskazówki byle jasne bo nie robiliśmy nidgy zadań tego typu.
Z teorii mieliśmy m.in. nierówność Schwarza i warunek identyczności równoległoboku, ale nie wiem jak to zastosować i czy w ogóle to jest pomocne.

Zachodzi \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{\langle(x,y)|(x,y)\rangle}}\). Stąd wyznaczysz swój iloczyn skalarny.

No to wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \langle(x,y)|(x,y)\rangle=x^{2}+y^{2}-xy}\) to iloczyn skalarny.
A w odpowiedzi mam: \(\displaystyle{ \langle\left( a, b\right)| \left( c,d\right)\rangle = ac+bd - \frac{1}{2}\left( ad+bc\right)}\) i nie mam pojęcia skąd to się wzięło. Proszę o pokazanie jak to wyliczyć.

-- 1 lut 2013, o 11:12 --

Mam takie rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ \langle\left( 1,0\right)| \left( 0,1\right)\rangle = q}\). Stąd i z tego, że \(\displaystyle{ \left| \left| \left( 1,0\right) \right| \right| = \left| \left| \left( 0,1\right) \right| \right|=1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \langle\left( a, b\right)| \left( c,d\right)\rangle = ac+adq+ bcq +bd}\)

Proszę o wyjaśnienie skąd taka implikacja.

Niech \(\displaystyle{ H=R^{2}}\) z normą
\(\displaystyle{ \left| \left| \left( x,y\right) \right| \right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}-xy}}\).
a) Wyznaczyć iloczyn skalarny, od którego ona pochodzi, dowodząc w ten sposób, że H z tą normą jest przestrzenią Hilberta.
b) Zastosuj ortonormalizację Grama-Schmidta względem iloczynu skalarnego znalezionego w punkcie a) do wektorów \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\).

Myślę że podpunkt b) jestem w stanie sama rozwiązać tylko nie wiem jak policzyć iloczyn skalarny w a)

Wiem, że zachodzi \(\displaystyle{ \langle(x,y)|(x,y)\rangle=x^{2}+y^{2}-xy}\), ale nie wiem co dalej

Odpowiedź w książce: \(\displaystyle{ \langle\left( a, b\right)| \left( c,d\right)\rangle = ac+bd - \frac{1}{2}\left( ad+bc\right)}\)

325765.htm

Koleżanki z grupy? Proponuję połączyć siły a nie pisać w dwóch tematach o tym samym.

Mógłby ktoś pomoc nam z tym zadaniem?

Co za różnica, ani mnie ani murfy nikt nie chce pomóc, to nic mi po tym linku.

Taka różnica, że nie powinno się na forum dublować tematów. Formalnie nie dublujesz, więc wszystko OK. Ale przyczyniasz się do rozdrabniania ewentualnych odpowiedzi. Raportuję prośbę o połączenie tematów lub kosz.

Zobacz na podpowiedzi. My tu nie zawsze dajemy gotowce.

mnie te podpowiedzi nic nie mówią.

To zrób wszystko, żeby mówiły.

Bardzo ładnie kwestie norma a iloczyn skalarny opisane są w skrypcie Chmielińskiego. My nie wpłyniemy na stan Twojego umysłu. Sama musisz do pewnych rzeczy dojść. A podpowiedzi są bardzo jasne i klarowne.

Dzisiejsza młodzież... chciałaby wszystkiego minimalnym kosztem i na tacy. Czytałem o tym w Polityce.

murfy pisze:No to wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \langle(x,y)|(x,y)\rangle=x^{2}+y^{2}-xy}\) to iloczyn skalarny.

Powiedz mi proszę w jaki sposób to miałoby podawać wzór na iloczyn skalarny pomiędzy dwoma dowolnymi wektorami. Nie patrz w odpowiedzi, a staraj się zrozumieć...

Jeżeli norma w rzeczywistej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ H}\) spełnia warunek równoległoboku, to iloczyn skalarny od którego ona pochodzi wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}\;\;(x,y\in H)}\).

Oznacza to, że aby poprawnie rozwiązać to zadanie należy sprawdzić warunek równoległoboku i podstawić do powyższego wzoru. Jest też wzmianka o zupełności (przestrzeń Hilberta). Czy umiesz udowodnić, że każda norma w przestrzeni skończenie wymiarowej jest zupełna? Jeżeli nie, to czy umiesz pokazać, że ta konkretna jest (no i czy wiesz co to oznacza i co należy sprawdzić?).

Spektralny pisze:

murfy pisze:No to wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \langle(x,y)|(x,y)\rangle=x^{2}+y^{2}-xy}\) to iloczyn skalarny.

Powiedz mi proszę w jaki sposób to miałoby podawać wzór na iloczyn skalarny pomiędzy dwoma dowolnymi wektorami. Nie patrz w odpowiedzi, a staraj się zrozumieć...

No właśnie jest to iloczyn skalarny między dwoma identycznymi wektorami i chciałam aby ktoś mi pokazał jak wyznaczyć ten iloczyn dla dwóch dowolnych.

-- 2 lut 2013, o 12:27 --

Aby przestrzeń była przestrzenią Hilberta, musi być unitarna i zupełna przy odległości \(\displaystyle{ d\left( x,y\right) = \left| \left| x-y\right| \right| = \sqrt{\left\langle x-y, x-y\right\rangle }}\)

-- 2 lut 2013, o 12:32 --

Spektralny pisze: Jeżeli norma w rzeczywistej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ H}\) spełnia warunek równoległoboku, to iloczyn skalarny od którego ona pochodzi wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}\;\;(x,y\in H)}\).

Oznacza to, że aby poprawnie rozwiązać to zadanie należy sprawdzić warunek równoległoboku i podstawić do powyższego wzoru. Jest też wzmianka o zupełności (przestrzeń Hilberta). Czy umiesz udowodnić, że każda norma w przestrzeni skończenie wymiarowej jest zupełna? Jeżeli nie, to czy umiesz pokazać, że ta konkretna jest (no i czy wiesz co to oznacza i co należy sprawdzić?).

Czyli muszę po prostu sprawdzić czy norma spełnia warunek równoległoboku i podstawić do wzoru. Rozumiem. Po prostu nie mieliśmy tego wzoru na wykładzie.
Co do przestrzeni Hilberta - wiem jak sprawdzić, czy przestrzeń jest unitarna, jednak nie wiem jak sprawdzić zupełność. -- 2 lut 2013, o 16:58 --Obliczyłam i wyszedł mi prawidłowy iloczyn skalarny. Tylko zastanawiam się czy tego, że H z tą normą jest przestrzenią Hilberta, nie trzeba przypadkiem wykorzystać podczas obliczania iloczynu skalarnego.
Czy po prostu teraz po wszystkich obliczeniach mam wykazać że jest to przestrzeń Hilberta? Jeżeli tak, to mógłby mi ktoś pokazać jak wykazać zupełność?