Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a, b,c}\) będą bokami trójkata oraz niech \(\displaystyle{ a+b+c = 1}\).Pokaż

\(\displaystyle{ {{1}\over{a^2}}+{{1}\over{b^2}}+{{1}\over{c^2}}+{{1}\over{4abc}}\geq \ 32}\)

można \(\displaystyle{ 32}\) zamienić na \(\displaystyle{ 33.75}\) a boki trójkąta nie są potrzebne

nie ma potrzeby wymnażania wszystkiego na pałę

Ale żeby dowieść nierówności użytych powyżej to raczej trzeba je wymnożyć?
Załóżmy druga:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4abc} \ge \frac{27}{4(a+b+c)^3} \\
\frac{1}{abc} \ge \frac{27}{(a+b+c)^3} \\
(a+b+c)^3 \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^2b \ +6abc \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^3b \geq21abc}\)

i tutaj jest to już zsumowany stronami Muirhead dla

\(\displaystyle{ \left [ 3,0,0 \right ]\geq\left [ 1,1,1 \right ]\\
3\left [ 2,1,0 \right ]\geq3\left [ 1,1,1 \right ]}\)

O to chodzi?

Pozdrawiam.

można wymnożyć i skorzystać z nierówności Muirheada

można je też uzasadnić doszukując się w nich nierówności między średnimi