[Nierówności][Planimetria] Nierówność z bokami trójkata

[rochaj]

Niech \(\displaystyle{ a, b,c}\) będą bokami trójkata oraz niech \(\displaystyle{ a+b+c = 1}\).Pokaż

\(\displaystyle{ {{1}\over{a^2}}+{{1}\over{b^2}}+{{1}\over{c^2}}+{{1}\over{4abc}}\geq \ 32}\)

[timon92]

można \(\displaystyle{ 32}\) zamienić na \(\displaystyle{ 33.75}\) a boki trójkąta nie są potrzebne

[Ponewor]

Ukryta treść:    

Równoważnie
\(\displaystyle{ 4 \left(a^{4}b^{2}+a^{4}c^{2}+a^{2}b^{4}+b^{4}c^{2}+a^{2}c^{4}+b^{2}c^{4} \right) + 11 \left(a^{3}b^{2}c+a^{3}bc^{2}+a^{2}b^{3}c+ab^{3}c^{2}+a^{2}bc^{3}+ab^{2}c^{3} \right) + 8 \left(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3} \right) + \left(a^{4}bc+ab^{4}c+abc^{4} \right) + 18a^{2}b^{2}c^{2} \ge 128a^{2}b^{2}c^{2}}\)
Lewą stronę szacujemy Muirheadem i wychodzi dokładnie to o czym pisał timon92.

[timon92]

nie ma potrzeby wymnażania wszystkiego na pałę

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2} \ge \frac{27}{(a+b+c)^2} = 27 \\ \frac{1}{4abc} \ge \frac{27}{4(a+b+c)^3}=\frac{27}{4}=6.75}\)

[Spokojny_]

Ale żeby dowieść nierówności użytych powyżej to raczej trzeba je wymnożyć?
Załóżmy druga:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4abc} \ge \frac{27}{4(a+b+c)^3} \\
\frac{1}{abc} \ge \frac{27}{(a+b+c)^3} \\
(a+b+c)^3 \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^2b \ +6abc \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^3b \geq21abc}\)

i tutaj jest to już zsumowany stronami Muirhead dla

\(\displaystyle{ \left [ 3,0,0 \right ]\geq\left [ 1,1,1 \right ]\\
3\left [ 2,1,0 \right ]\geq3\left [ 1,1,1 \right ]}\)

O to chodzi?

Pozdrawiam.

[timon92]

można wymnożyć i skorzystać z nierówności Muirheada

można je też uzasadnić doszukując się w nich nierówności między średnimi