Matematyka.pl

Sprawdź czy istnieje granica(jeśli istnieje, nie trzeba jej obliczać, tylko udowodnić, że istnieje):

a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}}\)

b)\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1-n \right) ^{n}}\)

c)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n \right)}\)

a) 307167.htm#F1

b) Wskazówka: \(\displaystyle{ (1-n)^n = (-1)^n \cdot (n-1)^n}\)

c) Znamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \le \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \le \frac{1}{n}.}\)

Wynika z niej, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \ln (n+1) - \ln n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln (n+1) = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n+1}{n} \right) \\ \\ = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right) \right],}\)

a to wyrażenie jest dodatnie, bo pierwszy składnik jest dodatni i każdy składnik postaci

\(\displaystyle{ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right)}\)

jest nieujemny.

Z drugiej strony,

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n}{n-1} \right) \\ \\ = 1 + \left[ \frac{1}{2} - \ln \left(1+\frac{1}{1} \right) \right] + \left[ \frac{1}{3} - \ln \left(1+\frac{1}{2} \right) \right] + \left[ \frac{1}{4} - \ln \left(1+\frac{1}{3} \right) \right] + \ldots + \left[ \frac{1}{n} - \ln \left(1+\frac{1}{n-1} \right) \right],}\)

a to wyrażenie maleje, bo z każdym wyrazem ciągu dodajemy niedodatni składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} - \ln \left(1+\frac{1}{n} \right).}\)
Nasz ciąg jest zatem nierosnący i ograniczony z dołu przez zero, więc jest zbieżny.
Jego granicę nazywa się i oznacza literką \(\displaystyle{ \gamma.}\)