Sprawdź czy istnieje granica(jeśli istnieje, nie trzeba jej obliczać, tylko udowodnić, że istnieje):
a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1-n \right) ^{n}}\)
c)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n \right)}\)
Sprawdz czy istnieje granica
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10307
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2431 razy
Sprawdz czy istnieje granica
a) 307167.htm#F1
b) Wskazówka: \(\displaystyle{ (1-n)^n = (-1)^n \cdot (n-1)^n}\)
c) Znamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \le \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \le \frac{1}{n}.}\)
Wynika z niej, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \ln (n+1) - \ln n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln (n+1) = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n+1}{n} \right) \\ \\ = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right) \right],}\)
a to wyrażenie jest dodatnie, bo pierwszy składnik jest dodatni i każdy składnik postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right)}\)
jest nieujemny.
Z drugiej strony,
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n}{n-1} \right) \\ \\ = 1 + \left[ \frac{1}{2} - \ln \left(1+\frac{1}{1} \right) \right] + \left[ \frac{1}{3} - \ln \left(1+\frac{1}{2} \right) \right] + \left[ \frac{1}{4} - \ln \left(1+\frac{1}{3} \right) \right] + \ldots + \left[ \frac{1}{n} - \ln \left(1+\frac{1}{n-1} \right) \right],}\)
a to wyrażenie maleje, bo z każdym wyrazem ciągu dodajemy niedodatni składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} - \ln \left(1+\frac{1}{n} \right).}\)
Nasz ciąg jest zatem nierosnący i ograniczony z dołu przez zero, więc jest zbieżny.
Jego granicę nazywa się i oznacza literką \(\displaystyle{ \gamma.}\)
b) Wskazówka: \(\displaystyle{ (1-n)^n = (-1)^n \cdot (n-1)^n}\)
c) Znamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \le \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \le \frac{1}{n}.}\)
Wynika z niej, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \ln (n+1) - \ln n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln (n+1) = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n+1}{n} \right) \\ \\ = \ln \frac{n+1}{n} + \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right) \right],}\)
a to wyrażenie jest dodatnie, bo pierwszy składnik jest dodatni i każdy składnik postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{k} - \ln \left(1+\frac{1}{k} \right)}\)
jest nieujemny.
Z drugiej strony,
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \left( \ln 2 + \ln \frac{3}{2} + \ln \frac{4}{3} + \ldots + \ln \frac{n}{n-1} \right) \\ \\ = 1 + \left[ \frac{1}{2} - \ln \left(1+\frac{1}{1} \right) \right] + \left[ \frac{1}{3} - \ln \left(1+\frac{1}{2} \right) \right] + \left[ \frac{1}{4} - \ln \left(1+\frac{1}{3} \right) \right] + \ldots + \left[ \frac{1}{n} - \ln \left(1+\frac{1}{n-1} \right) \right],}\)
a to wyrażenie maleje, bo z każdym wyrazem ciągu dodajemy niedodatni składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} - \ln \left(1+\frac{1}{n} \right).}\)
Nasz ciąg jest zatem nierosnący i ograniczony z dołu przez zero, więc jest zbieżny.
Jego granicę nazywa się i oznacza literką \(\displaystyle{ \gamma.}\)