Matematyka.pl

Witam, mam do rozwiązania zadanie o oczekiwanej ilości kroków przed wylosowaniem wzoru Orzeł-Reszka-Orzeł. Jeden krok to jedno rzucenie monetą. Doszłam do wniosku że będzie to coś mniej więcej w stylu:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \cdot 3 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \cdot 4 \cdot 2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} \cdot 5 \cdot 3 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{6} \cdot 6 \cdot 5+\left( \frac{1}{2} \right) ^{7} \cdot 7 \cdot 7 + ...}\)
bazując na faktach: potrzeba conajmniej 3ch kroków, a od 6 kroków mamy powtarzający się motyw. Tutaj pojawia się mój szereg. O ile się nie mylę to mam do czynienia z:

\(\displaystyle{ \sum_{n=6}^{ \infty } \left( 2n - 7 \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \cdot n}\)

Jak rozwiązać powyższy szereg?
Czy to będzie z twierdzenia o trzech ciągach? Czy ma ktoś jakiekolwiek sugestie jak to rozwiązać? Będę wdzięczna za każdą wskazówkę.

Trzy ciągi dużo tu nie pomogą. Musisz tak przekształcać na kilka sum. Tu podaje dwie najważniejsze sumy, których musisz się doszukać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{\infty}n(n-1) x^{n-2}=\left( \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}\right)'' \\
\sum_{n=k}^{\infty}nx^{n-1}=\left( \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}\right)'}\)

Wydaje mi się że całkiem źle podeszłam do tego zadania. Zły ciąg wymyśliłam.
Odpowiedzią do zadania jest że oczekiwana ilość kroków do osiągnięcia sekwencji O-R-O to 10 kroków. (sekwencja O-O-O jest do osiągnięcia po 14 krokach).