Suma szeregu

[zuababa]

Witam, mam do rozwiązania zadanie o oczekiwanej ilości kroków przed wylosowaniem wzoru Orzeł-Reszka-Orzeł. Jeden krok to jedno rzucenie monetą. Doszłam do wniosku że będzie to coś mniej więcej w stylu:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \cdot 3 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \cdot 4 \cdot 2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} \cdot 5 \cdot 3 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{6} \cdot 6 \cdot 5+\left( \frac{1}{2} \right) ^{7} \cdot 7 \cdot 7 + ...}\)
bazując na faktach: potrzeba conajmniej 3ch kroków, a od 6 kroków mamy powtarzający się motyw. Tutaj pojawia się mój szereg. O ile się nie mylę to mam do czynienia z:

\(\displaystyle{ \sum_{n=6}^{ \infty } \left( 2n - 7 \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \cdot n}\)

Jak rozwiązać powyższy szereg?
Czy to będzie z twierdzenia o trzech ciągach? Czy ma ktoś jakiekolwiek sugestie jak to rozwiązać? Będę wdzięczna za każdą wskazówkę.

[pyzol]

Trzy ciągi dużo tu nie pomogą. Musisz tak przekształcać na kilka sum. Tu podaje dwie najważniejsze sumy, których musisz się doszukać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{\infty}n(n-1) x^{n-2}=\left( \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}\right)'' \\
\sum_{n=k}^{\infty}nx^{n-1}=\left( \sum_{n=k}^{\infty}x^{n}\right)'}\)

[zuababa]

Wydaje mi się że całkiem źle podeszłam do tego zadania. Zły ciąg wymyśliłam.
Odpowiedzią do zadania jest że oczekiwana ilość kroków do osiągnięcia sekwencji O-R-O to 10 kroków. (sekwencja O-O-O jest do osiągnięcia po 14 krokach).