Matematyka.pl

udowodnij ze liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest liczbą niewymierną (stosując przy tym indukcję matematyczną).

Ukryta treść:

Zaproponować ewentualnie jakiś inny dowód nie „nie wprost” niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jak wiemy, jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^2-5}\)

Gdyby liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) była wymierna to musiałaby znajdować się wśród liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ }\)5, zaś \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\)-a, ale \(\displaystyle{ \sqrt{5} \notin\frac{p}{q}=\left\{-5,5 \right\}}\)

sprzeczność.

patryk00714 pisze:Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jak wiemy, jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^2-5}\)

Gdyby liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) była wymierna to musiałaby znajdować się wśród liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ }\)5, zaś \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem wyrazu stojącego przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\)-a, ale \(\displaystyle{ \sqrt{5} \notin\frac{p}{q}=\left\{-5,5 \right\}}\)

sprzeczność.

Ten zbiór nie ma tylko dwóch elementów, 5 ma więcej dzielników.

Zadanie 44 z Nierozwiązanych

Inny dowód (niestety nie wprost ):

Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \in \QQ}\). Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{2}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczby \(\displaystyle{ k=m \sqrt{2} - m}\) oraz \(\displaystyle{ k\sqrt{2} = 2m - m\sqrt{2}}\) też są naturalne oraz \(\displaystyle{ k< m}\) tj. sprzeczność

Ten zgrabny dowód nie stosuje „podzielności” ani innych tego typu narzędzi

z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) nie „idzie” bo \(\displaystyle{ k >m}\)...

mol_ksiazkowy pisze:Zadanie 44 z Nierozwiązanych

Inny dowód (niestety nie wprost ):

Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \in \QQ}\). Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{2}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczby \(\displaystyle{ k=m \sqrt{2} - m}\) oraz \(\displaystyle{ k\sqrt{2} = 2m - m\sqrt{2}}\) też są naturalne oraz \(\displaystyle{ k< m}\) tj. sprzeczność

Ten zgrabny dowód nie stosuje „podzielności” ani innych tego typu narzędzi

z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) nie „idzie” bo \(\displaystyle{ k >m}\)...

Alez oczywiście, że idzie, tylko trzeba go troszke zmodyfikować:

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsza liczbą naturalną że: \(\displaystyle{ m \sqrt{5}}\) jest liczbą naturalną; wtedy liczba \(\displaystyle{ k=m \sqrt{5} - 2m<3m-2m=m}\) i \(\displaystyle{ k\sqrt{5}=5m-2m\sqrt{5}}\) jest liczbą całkowitą. I już.

@mol_ksiazkowy: za wprowadzenie czytelników w błąd udowodnisz ta metodą, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) jej pierwiastek jest niewymierny.