Matematyka.pl

Gdy dane są dwa trójkąty \(\displaystyle{ t1}\) oraz \(\displaystyle{ t2}\) o bokach
\(\displaystyle{ a_1, b_ 1, c_ 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2, b_ 2, c_ 2}\)
i o polach \(\displaystyle{ \Delta_1 \ \Delta_2}\) to :
\(\displaystyle{ a_1^2(b_2^2 +c_2^2-a_2^2) + b_1^2(c_2^2 +a_2^2-b_2^2)+ c_1^2(a_2^2 +b_2^2-c_2^2) \geq 16 \Delta_1 \Delta_2}\)
i kiedy zachodzi równość ?

Zadanie jest ze \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.

Cytuj:

Zadanie jest ze 101 nierozwiązanych.

Uwagi: Nierówność Newberga-Pedoe’a można udowodnić też z tzw. Nierówności Aczéla:
Jeśli \(\displaystyle{ a_, …, a_n, b_1, …, b_n >0}\) oraz
\(\displaystyle{ a_1^2 \geq a_2^2 + ... + a_n^2}\) i
\(\displaystyle{ b_1^2 \geq b_2^2 + ... + b_n^2}\) to:
\(\displaystyle{ a_1b_1 - (a_2b_2 + ... + a_nb_n) \geq \sqrt{(a_1^2 - (a_2^2 + ... + a_n^2) )(b_1^2 - (b_2^2 + ... + b_n^2))}}\)
Nierówność Newberga-Pedoe’a jest uogólnieniem tzw.
Weitzenbock:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S}\), której zaś uogólnieniem jest:
Tsintsifas:
gdy \(\displaystyle{ p, q, r >0}\) to \(\displaystyle{ \frac{p}{q+r}a^2 + \frac{q}{r+p} b^2 + \frac{r}{p+q}c^2 \geq 2\sqrt{3}S}\)