Matematyka.pl

inwersja w P, prosta simsona , jednokladnosc

Można to zrobić z twierdzenia Helly'ego (które dzisiaj poznałem xD). Mówi ono, że jeżeli wśród n wypukłych figur w przestrzeni d-wymiarowej każde d+1 ma niepuste przecięcie, to wszystkie one mają niepuste przecięcie. Oczywiście będziemy korzystać z tego dla \(\displaystyle{ d=3}\).
Załóżmy nie wprost, że żadne 4 półsfery nie pokrywają całej sfery. Każdej półsferze przyporządkujmy półkulę, która jej odpowiada (dla formalistów - musimy je brać bez brzegu). Weźmy pewną czwórkę półsfer. Nie pokrywają one całej sfery. Weźmy punkt antypodyczny do jakiegokolwiek, który nie jest pokryty. Należy on do wszystkich tych 4 półsfer, czyli odpowiadające im półkule mają niepustą część wspólną. A skoro każda czwórka takich półkul ma część wspólną, to na mocy twierdzenia Helly'ego wszystkie one mają część wspólną, czyli także wszystkie rozpatrywane półsfery mają część wspólną (skoro to są półkule, to jak mają część wspólną, gdzieś w środku kuli, to rzutując ten punkt na sferę otrzymamy taki fajny punkt, ale już na sferze), zatem jak weźmiemy punkt antypodyczny do jakiegokolwiek punktu z tej części wspólnej, to nie jest on pokryty przez żadną daną półsferę PIERDUT!

Btw kilka godzin, zanim zobaczyłem ten temat, Wiktor Kuropatwa mi powiedział o tym twierdzeniu i przytoczył dowód dla płaszczyzny, który udało mi się przepchnąć do d-tego wymiaru za pomocą tw. Radona, a co do samego zadania, to stwierdziłem, że musi jakoś iść z tw. Helly'ego i jak to konkretnie z tego pyknąć wykminił Mateusz Gołębiewski .

\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{ \sqrt{b^2 + c^2} } + \frac{c}{ \sqrt{c^2 + a^2} } \le \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)
mnożymy nierówność razy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i w mianownikach po lewej stronie nierówności
dla każdego z osobna wykorzystujemy nierówność między średnią kwadratową a arytmetyczną dostajemy
ostatecznie nierówność Nesbitta
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}}\)
dowodzoną tutaj 107067.htm

Każdej półsferze przyporządkowujemy jej "czubek". Zauważmy, że zbiór półsfer nie pokrywa S dokładnie wtedy, kiedy istnieje jakiś punkt X na S taki, że półsfera której jest czubkiem jest X nie zawiera żadnego z wybranych punktów - a więc wtedy, gdy wszystkie czubki są zawarte w pewnej otwartej półkuli. Ponadto, pewien zbiór punktów na sferze jest zawarty w pewnej półkuli wtedy i tylko wtedy, gdy jego otoczka wypukła nie zawiera środka tej kuli. Łącząc te dwa spostrzeżenia - sfery odpowiadające pewnemu zbiorowi czubków pokrywają S dokładnie wtedy, gdy otoczka wypukła tego zbioru zawiera środek kuli. A więc gdy mamy takie pokrycie, to otoczkę wypukłą możemy striangulować i wybrać czworościan zawierający środek kuli - jego wierzchołki są czubkami szukanego podpokrycia.

Lewą stronę przekształcamy do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+\frac{b}{a}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{c}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{c}}}}\) i podstawiamy \(\displaystyle{ x=\sqrt{1+\frac{b}{a}},y=\sqrt{1+\frac{c}{b}},z=\sqrt{1+\frac{a}{c}}.}\) Zauważamy, że zachodzi warunek \(\displaystyle{ (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=1}\) i \(\displaystyle{ x,y,z>1.}\) Czyli mamy do udowodnienia nierówność
przy warunkach \(\displaystyle{ (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=1,\ x,y,z>1.}\) Skorzystamy z mnozników Lagrange'a:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{x^2}+2\lambda(y^2-1)(z^2-1)x=0 \Leftrightarrow 2\lambda\frac{x^3}{(y^2-1)(z^2-1)}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{y^2}+2\lambda(x^2-1)(z^2-1)y=0 \Leftrightarrow 2\lambda\frac{y^3}{(x^2-1)(z^2-1)}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{z^2}+2\lambda(a^2-1)(y^2-1)x=0 \Leftrightarrow 2\lambda\frac{z^3}{(x^2-1)(y^2-1)}=1.}\)
Warunki te są dla \(\displaystyle{ \lambda \neq 0,}\) dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) nie zachodzą. Teraz np z pierwszego i drugiego warunku dostajemy \(\displaystyle{ x^3(x^2-1)=y^3(y^2-1)}\) co jest możliwe tylko dla \(\displaystyle{ x=y}\) bo funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^3(x^2-1)}\) jest różnowartościowa dla \(\displaystyle{ x>1}\) tak samo funkcja po prawej. Analogicznie dostajemy, że \(\displaystyle{ y=z.}\) Zatem \(\displaystyle{ x=y=z}\) co w połączeniu z \(\displaystyle{ (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=1, x,y,z>1}\) daje nam \(\displaystyle{ x=y=z=\sqrt2.}\) Co po podstawieniu do \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le \frac{3\sqrt{2}}{2}}\) daje nam żądaną nierówność.

Podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ y=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}, \ z=\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}}\). Wówczas z założeń zadania mamy \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1)}\), ponadto jest \(\displaystyle{ (xyz)^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) \ (*)}\)
zaś teza prezentuje się tak:
\(\displaystyle{ x+y+z\le \frac{3\sqrt{2}}{2} \ (\#)}\).
Zauważmy teraz, że jeśli w \(\displaystyle{ (*)}\) podstawimy \(\displaystyle{ x':=\sqrt{1-x^2}, \ y':=\sqrt{1-y^2}, \ z':=\sqrt{1-z^2}}\), to \(\displaystyle{ (*)}\) nie zmieni się, a ponadto także \(\displaystyle{ x', y', z' \in (0,1)}\)
i teza przyjmuje postać \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\le \frac{3\sqrt{2}}{2}}\).
W związku z tym liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ (*)}\) spełniają też nierówność \(\displaystyle{ (\#)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność ta zachodzi dla liczb \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}, \ \sqrt{1-y^2}, \ \sqrt{1-z^2}}\).
Zauważmy jednak, że ze znanej nierówności \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}\)(nierówność między średnią kwadratową a arytmetyczną dla dwóch zmiennych) mamy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1)}\):
\(\displaystyle{ x+\sqrt{1-x^2}+y+\sqrt{1-y^2}+z+\sqrt{1-z^2}\le \\ \le \sqrt{2(x^2+1-x^2)}+\sqrt{2(y^2+1-y^2)}+\sqrt{2(z^2+1-z^2)}=3\sqrt{2} \ (\ @)}\)
Teraz przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1)}\) spełniają \(\displaystyle{ (xyz)^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z>\frac{3\sqrt{2}}{2}}\). Wobec tego podstawienie
\(\displaystyle{ x:=\sqrt{1-x^2}, \ y:=\sqrt{1-y^2}, \ z:=\sqrt{1-z^2}}\) daje nam wniosek, że również \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}>\frac{3\sqrt{2}}{2}}\).
Dodając te dwie ostatnie nierówności, otrzymujemy
\(\displaystyle{ x+\sqrt{1-x^2}+y+\sqrt{1-y^2}+z+\sqrt{1-z^2}>3\sqrt{2}}\), ale to jest sprzeczność z \(\displaystyle{ (\ @)}\)
co kończy dowód.