[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych
: 17 maja 2012, o 14:15
Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ (a+2)(b+2)(c+2)=(a+b+c+2)^{2}}\)
Problem równoważny z:
\(\displaystyle{ b,c,\frac{1}{2} \left(b c\pm \sqrt{b^2-4} \sqrt{c^2-4}\right)\in\mathbb{Z}}\)
Można łatwo sprawdzić, że dla dowolnej jednej zmiennej, jeżeli tylko jest w przedziale \(\displaystyle{ [-2,2]}\) lub jedna ze zmiennych jest równa drugiej, to rozwiązanie istnieje i da się je wyznaczyć. Należy zbadać takie sytuacje, w której jedna z nich jest większa na moduł od \(\displaystyle{ 2}\) oraz wszystkie zmienne są parami różne.