Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim zadankiem:

Tylko zapisać całkę za pomocą współrzędnych biegunowych.

\(\displaystyle{ \iint_{D} xcos \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } dxdy}\)

\(\displaystyle{ D: 1 \le x ^{2} +y ^{2} \le 4, x \le 0, y \le 0}\)

Wiem tyle, że mam z tego okręg o promieniu r równym 2 i 1 czyli
\(\displaystyle{ 2 \ge r \ge 1}\)
a drugi
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi \ge \varphi \ge \pi}\)

niestety nie wiem co dalej z tym uczynić ... czy już mam to podstawić do wzoru ?

czy już mam to podstawić do wzoru ?

Tak. I uwzględnij jakobian przekształcenia.

Czyli rozumiem, że tak to ma wyglądać:


\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\int\limits_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} r cos ^{2} \sqrt{rcos ^{2}+ rsin ^{2} } d \varphi dr}\)

To powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\int\limits_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} r^2cos\varphi cos ^{2}\left| r\right| d \varphi dr}\)

Dlaczego akurat tak? całość mnożysz przez jakobian czyli \(\displaystyle{ r}\). Za x wstawiasz \(\displaystyle{ rcos\varphi}\) a pod pierwiastkiem masz jedynkę trygonometryczną. Dzięki temu możesz tam wstawićtę wartość bezwzględną - i przez to że granice r są dodatnie można ją nawet opuścić

Dzięki za pomoc - szerokości