Matematyka.pl

Mam pytanie co do zadania 2.11:
Udowodnij, że jeśli liczby a i b są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x ^{4} + x^{3}-1}\), to liczba \(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} -1}\).

Otóż rozwiązanie w książce opiera się na przedstawieniu wielomianu w postaci \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}\) i wykorzystaniu wzorów vieta. I tu moje pytanie skąd wiadomo że wielomian ten ma 4 pierwiastki? I czy można sobie tak założyć i rozwiązać w ten sposób zadanie czy trzeba udowodnić istnienie 4 pierwiastków?

Dziękuje za pomoc i pozdrawiam.

Wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastkow...

Wielomian 4 stopnia ma 4 pierwiastki, tylko nie wiadomo, czy wszystkie rzeczywiste, mogą być też zespolone. A jeżeli ma 4 rzeczywiste, to można na chama poszukać jakichś przedziałów, w których ten wielomian ma pierwiastek (czyli takich, że w jednym końcu wartość dodatnia, a w drugim ujemna).
Jednak jeżeli ten dowód nie był przeprowadzony i rachunki, które tam są nie przechodzą na zespolonych, to istotnie jest tam blef (a przynajmniej istotnie niekompletne).

Jest to wtedy blef, ponieważ ten wielomian ma tylko dwa pierwiastki rzeczywiste (forum nie lubi wolframa)

Zatem na pewno mowa o zespolonych, szczególnie, że podobno teza działa także biorąc pod uwagę pierwiastki zespolone.

Nie wiem czy się komuś przyda (wątpię), ale ten drugi wielomian można sprowadzić do 3 stopnia po podstawieniu \(\displaystyle{ t = x - \frac{1}{x}}\).

Co takiego tam może być użyte, żeby podejrzewać to o blef? Z resztą nie powiedziano, jakie to pierwiastki \(\displaystyle{ a,b}\) - przecież pierwiastków zespolonych wielomianu 4-tego stopnia jest 4.

Fajne zadanie na pomyślenie, co musi być, aby teza była spełniona. Mamy dwa pierwiastki rzeczywiste: \(\displaystyle{ a,b}\), dwa nierzeczywiste: \(\displaystyle{ c,d}\), tutaj nawet wszystkie parami różne. Zatem jeśli założymy, że \(\displaystyle{ ab \neq cd}\), \(\displaystyle{ ac \neq bd}\) oraz \(\displaystyle{ ad \neq bc}\) (to jest łatwe do sprawdzenia szacując \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) i korzystając z tego, że \(\displaystyle{ d}\) jest sprzężone do \(\displaystyle{ c}\)), więc jeśli teza byłaby prawdziwa, a zadanie nie wyróżniało żadnej z \(\displaystyle{ \binom{4}{2}}\) par pierwiastków, to nasz poniższy wielomian 6-tego stopnia powinien być równy: \(\displaystyle{ x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} - 1=(x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd)}\)

No a to nic innego, jak wzory Viete'a, można przepałować, można coś szukać, pozwijać, co by nie liczyć każdego współczynnika osobno - pewnie w książce jest podobny sposób.

P.S. Oczywiście jak domyślimy się, co wystarczy pokazać, aby teza była prawdziwa, wcale nie musimy sprawdzać tego, o czym wspomniałem w nawiasie

Najlepiej obliczyć pierwiastki równania:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-1=0}\)

Życzę powodzenia Arku.

Heh taak ale to był żart wiem!(po prostu angielski humor)

Super wychodzi na wzorach Viete'a.