Podane wektory uzupełnić do baz ortogonalnych
: 10 sty 2012, o 12:20
Witam, mam takie pytanie:
Mamy podane 2 wektorki:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right] \right\} w E ^{4}}\)
Skoro mam to uzupełnić do bazy otogonalnej to uzupełniam najpierw o brakujące wektory, bo nam te 2 nie rozpinają calej przestrzeni.
Otóż znalazłem sobie i wstawiam:
Mam bazę:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,0,1\right], \left[ 0,0,1,0\right] \right\}}\)
I algorytmem Grama-Schmidta przerabiam te wektory na ortogonalne, przy czym te pierwsze 2 już są.
Problem polega na tym, że dla takiej bazy wychodzą zupełnie inne wektory niż dla bazy takiej:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,1,0\right], \left[ 0,0,0,1\right] \right\}}\).
Przykładowo wektor trzeci po ortogonalizacji dla 1 "mojej" bazy wychodzi
\(\displaystyle{ v _{3}=u _{3} - \frac{\left\langle u _{3},v _{1} \right\rangle }{\left| \left| v _{1} \right| \right| ^{2} }v _{1}-\frac{\left\langle u _{3},v _{2} \right\rangle }{\left| \left| v _{2} \right| \right| ^{2} }v _{2} = u _{3}-0- \frac{1}{3}v _{2}}\)
Co wychodzi \(\displaystyle{ v _{3} = [0,0,0,1]- \frac{1}{3} [0,1,-1,1] = [0, \frac{-1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{2}{3} ]}\)
A dla bazy 2 (przykładowej) wychodzi \(\displaystyle{ [ \frac{-1}{3} ,0, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ]}\)
Tak samo w innych przykładach. Niby bazy te same, tylko kolejność inna wektorów, a w 1 wychodzą koszmary, a w innych ładne wyniki. Ma to znaczenie, jest jakaś metoda na to ?
Mamy podane 2 wektorki:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right] \right\} w E ^{4}}\)
Skoro mam to uzupełnić do bazy otogonalnej to uzupełniam najpierw o brakujące wektory, bo nam te 2 nie rozpinają calej przestrzeni.
Otóż znalazłem sobie i wstawiam:
Mam bazę:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,0,1\right], \left[ 0,0,1,0\right] \right\}}\)
I algorytmem Grama-Schmidta przerabiam te wektory na ortogonalne, przy czym te pierwsze 2 już są.
Problem polega na tym, że dla takiej bazy wychodzą zupełnie inne wektory niż dla bazy takiej:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,1,0\right], \left[ 0,0,0,1\right] \right\}}\).
Przykładowo wektor trzeci po ortogonalizacji dla 1 "mojej" bazy wychodzi
\(\displaystyle{ v _{3}=u _{3} - \frac{\left\langle u _{3},v _{1} \right\rangle }{\left| \left| v _{1} \right| \right| ^{2} }v _{1}-\frac{\left\langle u _{3},v _{2} \right\rangle }{\left| \left| v _{2} \right| \right| ^{2} }v _{2} = u _{3}-0- \frac{1}{3}v _{2}}\)
Co wychodzi \(\displaystyle{ v _{3} = [0,0,0,1]- \frac{1}{3} [0,1,-1,1] = [0, \frac{-1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{2}{3} ]}\)
A dla bazy 2 (przykładowej) wychodzi \(\displaystyle{ [ \frac{-1}{3} ,0, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ]}\)
Tak samo w innych przykładach. Niby bazy te same, tylko kolejność inna wektorów, a w 1 wychodzą koszmary, a w innych ładne wyniki. Ma to znaczenie, jest jakaś metoda na to ?