Podane wektory uzupełnić do baz ortogonalnych

[Eatos]

Witam, mam takie pytanie:

Mamy podane 2 wektorki:

\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right] \right\} w E ^{4}}\)

Skoro mam to uzupełnić do bazy otogonalnej to uzupełniam najpierw o brakujące wektory, bo nam te 2 nie rozpinają calej przestrzeni.

Otóż znalazłem sobie i wstawiam:
Mam bazę:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,0,1\right], \left[ 0,0,1,0\right] \right\}}\)

I algorytmem Grama-Schmidta przerabiam te wektory na ortogonalne, przy czym te pierwsze 2 już są.

Problem polega na tym, że dla takiej bazy wychodzą zupełnie inne wektory niż dla bazy takiej:

\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,0\right], \left[ 0,1,-1,1\right], \left[ 0,0,1,0\right], \left[ 0,0,0,1\right] \right\}}\).

Przykładowo wektor trzeci po ortogonalizacji dla 1 "mojej" bazy wychodzi

\(\displaystyle{ v _{3}=u _{3} - \frac{\left\langle u _{3},v _{1} \right\rangle }{\left| \left| v _{1} \right| \right| ^{2} }v _{1}-\frac{\left\langle u _{3},v _{2} \right\rangle }{\left| \left| v _{2} \right| \right| ^{2} }v _{2} = u _{3}-0- \frac{1}{3}v _{2}}\)

Co wychodzi \(\displaystyle{ v _{3} = [0,0,0,1]- \frac{1}{3} [0,1,-1,1] = [0, \frac{-1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{2}{3} ]}\)

A dla bazy 2 (przykładowej) wychodzi \(\displaystyle{ [ \frac{-1}{3} ,0, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ]}\)

Tak samo w innych przykładach. Niby bazy te same, tylko kolejność inna wektorów, a w 1 wychodzą koszmary, a w innych ładne wyniki. Ma to znaczenie, jest jakaś metoda na to ?

[schloss]

bo wtedy rzutowanie się zmienia: na inną oś rzutujesz.
jak sprawdzisz, że są otrzymane wektory do siebie prostopadłe i mają długość 1, to koniec zadania.

[Eatos]

No są, inaczej na co mi takie liczenie bez sprawdzania . A bazę mamy ortogonalną, więc normować wektorów nie muszę.

[schloss]

aha, ortogonalną, no tak, jasne.